Densidad de funciones suaves bajo la "métrica de Hölder"

Question

Esta pregunta surgió cuando estaba leyendo algo sobre los cuadrados de convolución de medidas singulares. Recordemos una función $f$ en el toroide $T = [-1/2,1/2]$ se dice $\alpha$ -Hölder (por $0 < \alpha < 1$ ) si $\sup_{t \in \mathbb{T}} \sup_{h \neq 0} |h|^{-\alpha}|f(t+h)-f(t)| < \infty$ . En este caso, defina este valor, $\omega_\alpha(f) = \sup_{t \in \mathbb{T}} \sup_{h \neq 0} |h|^{-\alpha}|f(t+h)-f(t)|$ . Se comporta como una métrica, excepto que las funciones que difieren en una constante no difieren en $\omega_\alpha$ . Mi pregunta principal es la siguiente:

1) ¿Es cierto que las funciones suaves son "densas" en el espacio de las continuas $\alpha$ -Hölder, es decir, para una función continua dada $\alpha$ -Hölder $f$ y $\varepsilon > 0$ ¿existe una función suave $g$ con $\omega_\alpha(f-g) < \varepsilon$ ?

Para ser precisos, donde se planteó esto se redactó de forma algo diferente. Supongamos que $K_n$ son funciones positivas y suaves apoyadas en $[-1/n,1/n]$ con $\int K_n = 1$ .

2) Dada una función continua fija $f$ que es $\alpha$ -Hölder y $\varepsilon > 0$ ¿existe $N$ tal que $n \geq N$ garantiza $\omega_\alpha(f-f*K_n) < \varepsilon$ ?

Esta segunda formulación es más fuerte que la primera, pero creo que no es necesaria para el resultado final.

Para generalizar, fije $0 < \alpha < 1$ y supongamos $\psi$ es una función definida en $[0,1/2]$ que es estrictamente creciente, $\psi(0) = 0$ y $\psi(t) \geq t^{\alpha}$ . Digamos que una función $f$ es $\psi$ -Hölder si $\sup_{t \in \mathbb{T}} \sup_{h \neq 0} \psi(|h|)^{-1}|f(t+h)-f(t)| < \infty$ . En este caso, defina este valor, $\omega_\psi(f) = \sup_{t \in \mathbb{T}} \sup_{h \neq 0} \psi(|h|)^{-1}|f(t+h)-f(t)|$ . Entonces podemos volver a preguntar 1) y 2) con $\alpha$ sustituido por $\psi$ .

Supongo que la motivación sería que las funciones suaves son densas en el espacio de funciones continuas bajo las métricas habituales sobre espacios de funciones, y esta "métrica de Hölder" parece una forma natural de definir una métrica de las clases de equivalencia de funciones (donde $f$ y $g$ son equivalentes si $f = g+c$ para una constante $c$ ). Agradecería cualquier información.

Answer 1

En nuestro seminario de PDE, nos encontramos con el mismo tipo de preguntas, y creemos que la respuesta es "INCORRECTA". Las funciones suaves NO son densas en los espacios de Hölder.

Un ejemplo, $$f(x) = |x|^{1/2} \quad x \in (-1,1)$$ es fácil comprobar que $f$ es $1/2$ -Hölder continuo.

Para más detalles, para cualquier $g \in C^{1}((-1,1))$ entonces la derivada de $g$ es continua en $0$ por lo que tenemos $$ \lim_{x \to 0} \frac{|g(x)-g(0)|}{|x|^{1/2}} = \lim_{x \to 0} |x|^{1/2}\frac{|g(x)-g(0)|}{|x|} = 0 $$
y $$ \omega_{1/2}(g-f) \ge \frac{|(g(x)-f(x))-(g(0)-f(0))|}{|x|^{1/2}} \ge |\frac{|(g(x)-g(0)|}{|x|^{1/2}}-\frac{|f(x)-f(0)|}{|x|^{1/2}}| $$ pero
$$ \frac{|f(x)-f(0)|}{|x|^{1/2}}=1 \quad x \in (-1,1) \quad x \neq 0 $$ deje $x \to 0$ obtenemos $\omega_{1/2}(g-f) \ge 1$ .

Así, para cualquier $g \in C^{1}((-1,1))$ tenemos $\omega_{1/2}(g-f)\ge 1$ .

Para $0< \alpha <1$ podemos poner ejemplos similares, pero cuando $\alpha = 1$ la prueba del contraejemplo puede ser diferente.

Answer 2

Las funciones suaves no son densas en el espacio de las funciones continuas de Hölder pero es posible caracterizar las funciones que pueden aproximarse. Esto se hace a continuación.

Definición. Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico y $0<\alpha\leq 1$ . El espacio $C^{0,\alpha}(X)$ o de funciones acotadas de valor real tales que $$ [f]_{C^{0,\alpha}}:=\sup\left\{\frac{|f(x)-f(y)|}{d(x,y)^\alpha}:\, x\neq y\right\}<\infty. $$

$C^{0,\alpha}(X)$ es un espacio de Banach con respecto a la norma $$ \Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}}=\Vert f\Vert_\infty+[f]_{C^{0,\alpha}}. $$

Definición. Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico. Para $0<\alpha\leq 1$ definimos el espacio $C^{0,\alpha+}(X)$ t $C^{0,\alpha}(X)$ ( funciones $f\in C^{0,\alpha}(X)$ tal que para cada conjunto compacto $K$ , $$ \lim_{t\to 0+}\ \sup\left\{\frac{|f(y)-f(x)|}{d(x,y)^\alpha}:\ x,y\in K,\ d(x,y)\leq t,\ x\neq y\right\}= 0. $$

En otras palabras $C^{0,\alpha+}(X)$ es un subespacio de $C^{0,\alpha}(X)$ consistente en funciones que, en cada conjunto compacto, tienen un módulo de continuidad ligeramente mejor que el de la definición de la $C^{0,\alpha}$ norma.

Teorema. Sea $0<\alpha<1$ . Entonces una función $f\in C^{0,\alpha}(\mathbb{R}^n)$ puede aproximarse mediante una secuencia suave suaves $f_k\in C^\infty$ s $K\subset\mathbb{R}^n$ , $\Vert f_k-f\Vert_{C^{0,\alpha}(K)}\to 0$ a $k\to\infty$ sólo si $f\in C^{0,\alpha+}(\mathbb{R}^n)$ .

Observación. El resultado no es cierto para $\alpha=1$ . Funciones Lipschitz que no son $C^1$ no pueden aproximarse mediante funciones suaves en la norma de Lipschitz, porque la norma de Lipschitz es la misma que $C^1$ norma.

Ejemplo. $|x|^{1/2}\in C^{0,1/2}(-1,1)\setminus C^{0,1/2+}(-1,1)$ a $C^{0,1/2}$ norma (véase también la respuesta aceptada).

Demostración del teorema. Supongamos que $f\in C^{0,\alpha}(\mathbb{R}^n)$ pueden aproximarse mediante funciones suaves. Tenemos que demostrar que $f\in C^{0,\alpha+}(\mathbb{R}^n)$ . Sea $B_R$ sea una bola de radio cualquiera. Sea $\varepsilon>0$ se dará. Entonces, para un $k$ , $$ |(f_k-f)(y)-(f_k-f)(x)|\leq\frac{\varepsilon}{2}|x-y|^\alpha \quad \text{for all $ x,y\in B_R $.} $$ Sea $M=\sup_{B_R}|\nabla f_k|$ . Por lo tanto, el teorema del valor medio da como resultado $$ |f(y)-f(x)|\leq\frac{\varepsilon}{2}|x-y|^\alpha +|f_k(y)-f_k(x)|\leq \left(\frac{\varepsilon}{2}+M|x-y|^{1-\alpha}\right)|x-y|^\alpha $$ así que $$ |f(y)-f(x)|\leq\varepsilon |x-y|^\alpha \quad \text{for all $ x,y\in B_r $ satisfying $ |x-y|<(\varepsilon/2M)^1/(1-\alpha)} $.} $$ Esto demuestra que $f\in C^{0,\alpha+}$ .

Supongamos ahora que $f\in C^{0,\alpha+}(\mathbb{R}^n)$ . Demostraremos que la aproximación por molificación $f_t$ tiene la propiedad deseada, es decir para cada bola $B_R$ , $\Vert f_t-f\Vert_{C^{0,\alpha}(B_R)}\to 0$ como $t\to 0$ . Desde $f_t\to f$ uniformemente, queda por estimar la constante en la estimación H\"más antigua de la diferencia $f_t-f$ . Sea $\varepsilon>0$ ser dado. De la definición de $C^{0,\alpha+}$ que hay $R>\tau>0$ tal que si $x,y\in B_{2R}$ , $|x-y|<\tau$ entonces $|f(x)-f(y)|\leq \frac{1}{2}\varepsilon|x-y|^\alpha$ . Por lo tanto, para $0<t<R$ , $|f_t(x)-f_t(y)|\leq\frac{1}{2}\varepsilon|x-y|^\alpha$ para $x,y\in B_R$ satisfaciendo $|x-y|<\tau$ . Esto se deduce fácilmente de la definición de $f_t$ porque $f_t(x)$ es una media ponderada de $f$ en la pelota $B(x,t)\subset B_{2R}$ . Por lo tanto $$ |(f_t-f)(x)-(f_t-f)(y)|\leq \varepsilon |x-y|^\alpha \quad \text{for all $ x,y\in B_R $ satisfying $ |x-y|<\tau $.} $$ Sea $0<\delta<R$ sea tal que $\Vert f_t-f\Vert_\infty<\varepsilon\tau^\alpha/2$ para $0<t<\delta$ .

Si $x,y\in B_R$ , $|x-y|\geq\tau$ entonces $$ |(f_t-f)(x)-(f_t-f)(y)|\leq 2\Vert f_t-f\Vert_\infty<\varepsilon\tau^\alpha\leq\varepsilon |x-y|^\alpha. $$ Demostramos que si $0<t<\delta$ entonces $$ |(f_t-f)(x)-(f_t-f)(y)|\leq \varepsilon |x-y|^\alpha \quad \text{for all $ x,y\in B_R $} $$ como desee. Esto completa la prueba. $\Box$

Answer 3

La respuesta es sí (Edito: mi "prueba" de abajo parece incompleta; lee el comentario de abajo). Lo demostraré en $\mathbb{R}^N$ la prueba se adapta fácilmente al toroide. Sea $\phi\colon\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N$ sea una función suave con soporte compacto, no negativa, y tal que $\int_{\mathbb{R}^N}\phi(x)dx=1$ . Defina $\phi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-N}\phi(\varepsilon^{-1}x)$ . Dado un $\alpha$ -Función de Hölder $f\colon\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N$ , $\phi_\varepsilon*f$ es suave y $\lim_{\varepsilon\to0}w_\alpha(f-\phi_\varepsilon*f)=0$ . Para demostrarlo $g_\varepsilon=f-\phi_\varepsilon*f$ . Entonces, para cualquier $x,y\in\mathbb{R}^N$ , $$ |g_\varepsilon(x)-g_\varepsilon(y)|\le\int_{\mathbb{R}^N}\phi(t)|(f(x-\varepsilon t)-f(x))-(f(y-\varepsilon t)-f(y))|dt. $$ Sea $$ G_\varepsilon(t)=\sup_{x\ne y}\frac{|(f(x-\varepsilon t)-f(x))-(f(y-\varepsilon t)-f(y))|}{|x-y|^\alpha} $$ $$ \qquad\qquad\qquad\le\sup_{x\ne y}\frac{|f(x-\varepsilon t)-f(y-\varepsilon t)|+|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le2w_\alpha(f). $$ Entonces, para cualquier $x,y\in\mathbb{R}^N$ , $x\ne y$ $$ \frac{|g_\varepsilon(x)-g_\varepsilon(y)|}{|x-y|^\alpha} \le\int_{\mathbb{R}^N}\phi(t)\frac{|(f(x-\varepsilon t)-f(x))-(f(y-\varepsilon t)-f(y))|}{|x-y|^\alpha}dt\le\int_{\mathbb{R}^N}\phi(t)G_\varepsilon(t)dt. $$ Tomando el supremum sobre $x,y\in\mathbb{R}^N$ obtenemos $$ w_\alpha(g_\varepsilon)\le\int_{\mathbb{R}^N}\phi(t)G_\varepsilon(t)dt. $$ Como hemos visto, $G_\varepsilon(t)$ está acotada y, puesto que $f$ es continua, $\lim_{\varepsilon\to0}G_\varepsilon(t)=0$ para todos $t\in\mathbb{R}^N$ . El teorema de convergencia dominada de Lebesgue implica el resultado.