Ya estoy muy familiarizado con el método descrito en utilizando el límite de Cramer-Rao para hallar la varianza aproximada de un ensayo de bernoulli .
Estoy interesado en el mismo problema; sin embargo, me gustaría utilizar el siguiente Corolario para resolver este problema:
Sea $X_1, \dots, X_n$ ser iid $f(x \mid \theta)$ donde $f(x \mid \theta)$ satisface las condiciones del Teorema de Cramer-Rao [es decir, la desigualdad]. Sea $L$ denota la función de verosimilitud, y $\ell$ sea la función loglikelihood correspondiente. Si $W(\mathbf{X}) = W(X_1, \dots, X_n)$ es cualquier estimador insesgado de $\tau(\theta)$ entonces $W(\mathbf{X})$ alcanza el Boun inferior de Cramer-Rao $$a(\theta)[W(\mathbf{x})-\tau(\theta)] = \dfrac{\partial \ell}{\partial \theta}$$ para alguna función $a(\theta)$ .
Supongamos que $X_1, \dots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Bernoulli}(p)$ . Tenemos $$L(p) = \prod_{i=1}^{n}p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} = p^{\sum_{i=1}^{n}x_i}(1-p)^{n-\sum_{i=1}^{n}x_i}\text{.}$$ Ya he demostrado que la MLE de $p$ es $\hat{p} = \bar{X}$ la media aritmética de los $X_1, \dots, X_n$ y que sea imparcial.
Utilizando $L$ calculamos la loglikelihood, $$\ell(p) = \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot \log(p) + \left(n - \sum_{i=1}^{n}x_i\right)\log(1-p) $$ con $$\dfrac{\partial \ell}{\partial p} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{p}-\dfrac{n - \sum_{i=1}^{n}x_i}{1-p}\text{.}$$ Ahora, entiendo que voy a tener que escribir esto en la forma $$a(\theta)(\bar{X}-p) $$ pero no está claro cómo hacerlo. Tenemos $$\dfrac{\partial \ell}{\partial p} = \dfrac{n}{p}\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}-\dfrac{p(n - \sum_{i=1}^{n}x_i)}{n(1-p)}\right] = \dfrac{n}{p}\left[\bar{X}-\dfrac{p(n - \sum_{i=1}^{n}x_i)}{n(1-p)}\right]\text{,}$$ no es exactamente lo que busco.
