Al estudiar la convergencia uniforme de la serie $\sum_{n=1}^\infty x^n$ He descubierto que estas dos restricciones sobre $x$ , $|x| \leq q < 1$ y $|x| < 1$ afectan a la convergencia uniforme de la serie ( $\sum_{n=1}^\infty x^n$ converge uniformemente cuando $|x| \leq q < 1$ pero no cuando $|x| < 1$ ). Entonces concluyo que esas dos restricciones no deben ser la misma cosa.
Puedo explicar vagamente la diferencia describiendo que $x$ tal que $|x| < 1$ puede tomar cualquier valor tan próximo a $1$ como pueda, de lo contrario con $|x| \leq q < 1$ , $x$ está limitado por este valor $q < 1$ es decir, no puede ser tan libre como para estar cerca de 1.
Pero luego al leer sobre series de potencias, me confunden estos dos teoremas, en particular las condiciones de $x$ :
Para cualquier serie de potencias $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ existe un número no negativo $R$ ( $R = 0$ y $R = \infty$ se incluyen como casos especiales [extremos]) llamado radio de convergencia de la serie tal que:
(c) si $R_1$ es cualquier número para el que $0 < R_1 < R$ entonces $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ converge uniformemente para todo $x \in [-R_1, R_1]$ .
Si la serie de potencias $F(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ tiene radio de convergencia $R$ entonces para cualquier número $a$ y $b$ tal que $-R < a < b < R$ , $\int_a^b F(x) dx$ existe. Además, $$\int_a^b F(x)dx = \int_a^b \sum_{n=0}^\infty a_n x^n dx = \sum_{n=0}^\infty \int_a^b a_n x^n dx.$$
El teorema sobre integrabilidad de series de potencias anterior, como mi material señaló y no estoy de acuerdo, fue replanteado para series de potencias de este teorema:
Si la sucesión de funciones continuas $\{f_n\}$ converge uniformemente a $f$ en $[a, b]$ entonces para cada $x \in [a, b]$ : $$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_a^x f_n(t) dt = \int_a^x \lim_{n\rightarrow \infty} f_n(t) dt. $$
Si mi entendimiento sobre la diferencia entre $|x| \leq q < 1$ y $|x| < 1$ era correcto entonces, debe haber un hueco entre el segundo y el tercer teorema (como en el orden presentado aquí). Por el primer y el tercer teorema, $a$ y $b$ en el segundo satisfacen que $- R_1 \leq a < b \leq R_1$ no $-R < a < b < R$ .
No creo que el material que he utilizado esté equivocado en ninguno de estos aspectos. Espero que ustedes puedan ayudarme a corregir si entendí mal algo, o a cerrar la brecha entre el segundo y el tercer teorema.
