Sea $X$ demuestre que la topología generada por $\{x:\ |\phi(x-x_0)|<\epsilon\}$ , $x_0\in X,\phi\in X^*,\epsilon>0$ es igual a la topología de la norma.

Question

Llamo $V_{x_0,\phi,\epsilon}:=\{x:\ |\phi(x-x_0)|<\epsilon\}$ para $x_0\in X,\ \phi\in X^*,\ \epsilon>0$ . Aquí $X^*$ denota el espacio de todas las funciones lineales acotadas en $X$ .

Donamos $\tau_{\lVert\cdot\rVert}=$ topología normativa y $\tau=$ topología generada por cada $V_{x_0,\phi,\epsilon}$

Entonces $\displaystyle{V_{x_0,\phi,\epsilon}=\phi^{-1}(\phi(x_0)-\epsilon,\phi(x_0)+\epsilon)\in \tau_{\lVert\cdot\rVert}}$

Por lo tanto, $\tau\subseteq \tau_{\lVert\cdot\rVert}$

Pero no puedo demostrar lo contrario, es decir. $\tau_{\lVert\cdot\rVert}\subseteq \tau$ es decir, cualquier bola abierta $B(x_0,\epsilon)$ en $\tau_{\lVert\cdot\rVert}$ está en $\tau$ .

¿Alguien puede ayudarme a terminar la pieza? Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

Si $V$ es infinito-dimensional, esto hace pas generan la topología de la norma. Genera la denominada topología débil en $V$ .

En efecto, supongamos que genera la topología de la norma, y consideremos la bola unitaria $B(0,1)$ que es de norma abierta. Entonces, por nuestra suposición, existen $x_1, \ldots, x_n \in V$ , $\phi_1, \ldots, \phi_n \in V^*$ y $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n > 0$ tal que $$0 \in \bigcap_{k=1}^n\{x \in V : |\phi_k(x-x_k)|<\varepsilon_k\} \subseteq B(0,1).$$

Desde $0$ está dentro, en particular tenemos $|\phi_k(x_k)| < \varepsilon_k$ para todos $1 \le k \le n$ .

Desde $V$ es de dimensión infinita, no puede ser $\bigcap_{k=1}^n \ker\phi_k = \{0\}$ (de hecho, esta intersección debe ser también de dimensión infinita) por lo que podemos elegir $y \ne 0$ tal que $\phi_k(y)=0$ para todos $1 \le k \le n$ . Entonces para cada $\lambda \in \Bbb{R}$ tenemos $$|\phi_k(\lambda y-x_k)| = |\phi_k(x_k)| <\varepsilon_k, \quad \text{ for all } 1\le k \le n$$ así que $$\Bbb{R}y \subseteq \bigcap_{k=1}^n\{x \in V : |\phi_k(x-x_k)|<\varepsilon_k\} \subseteq B(0,1).$$ Esto es claramente una contradicción.

Answer 2

Si $\mathcal{B}$ es una base de nieighbourhoods de cero para una topología $\tau$ entonces todo conjunto $A\in \mathcal{B}$ contiene un subespacio lineal de codimensión finita y, por tanto, no puede estar acotado por una norma a menos que el espacio $X$ es de dimensión finita. Por lo tanto, las dos topologías no son equivalentes si $X$ no es de dimensión finita.