Cardinalidad de los conjuntos infinitos

Question

Considere el siguiente problema:

Cuál de los siguientes conjuntos tiene la mayor cardinalidad?

A. ${\mathbb R}$

B. El conjunto de todas las funciones de ${\mathbb Z}$ ${\mathbb Z}$

C. El conjunto de todas las funciones de ${\mathbb R}$ $\{0,1\}$

D. El conjunto de todos los subconjuntos finitos de ${\mathbb R}$

E. El conjunto de todos los polinomios con los coeficientes en ${\mathbb R}$

Lo que puedo conseguir es que el$\#(A)=2^{\aleph_0}$$\#(C)=2^{2^{\aleph_0}}$. Y creo $\#(D)=\#(E)$. Para B, se puede obtener $\aleph_0^{\aleph_0}$. Pero, ¿cómo puedo comparar con otros(especialmente C)?

Aquí está mi pregunta:

¿Qué son las cardinalidades para B, D y E?

Answer 1

La respuesta correcta es la de las funciones de la $\mathbb R$$\{0,1\}$, los cálculos y las comparaciones se dan a continuación:

1. $\mathbb R=2^{\aleph_0}$.
2. Todas las funciones de $\mathbb Z$ $\mathbb Z$es lo mismo que $\mathbb N$$\mathbb N$,$2^{\aleph_0}\le\aleph_0^{\aleph_0}\le 2^{\aleph_0\times\aleph_0}=2^{\aleph_0}$.
3. Las funciones de $\mathbb R$ $\{0,1\}$son básicamente funciones características de los subconjuntos de a $\mathbb R$, es decir, es el mismo de la $|\mathcal P(\mathbb R)|$ que es de cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$ (por Cantor del teorema).
4. Todos los subconjuntos finitos de $\mathbb R$ es en la mayoría de todas las secuencias finitas de $\mathbb R$,$\bigcup_{n\in\mathbb N}\mathbb R^n$, que es de cardinalidad, al menos,$\mathbb R$, y sólo el otro lado $\le\mathbb R^{\mathbb N} = 2^{\aleph_0}$, por lo que es de cardinalidad del continuo.
5. Por el mismo argumento (4), el conjunto de polinomios es de cardinalidad del continuo (identificar un polinomio con una secuencia finita de sus coeficientes, y la colección de secuencias finitas es, al menos, la cardinalidad de todos los conjuntos finitos).

En particular, esto significa que el conjunto de funciones de $\mathbb R$ $\{0,1\}$es el más grande, y de hecho es el único que no está de cardinalidad del continuo.

Answer 2

Estás en lo correcto al pensar que la cardinalidad de las funciones de$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$$\aleph_0^{\aleph_0}$. Para calcular este observar que $2^{\aleph_0}\leq\aleph_0^{\aleph_0}\leq (2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}$. Ahora, usando el Cantor-Bernstein teorema se puede conseguir que la $\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$.

De hecho, E y D tienen la misma cardinalidad. Los subconjuntos finitos de $\mathbb{R}$ son exactamente como muchos como los números reales. Esto es debido a que $|\mathbb{R}\times\mathbb{R}|=|\mathbb{R}|$ y por lo tanto (por inducción) para cada número natural $n$ tenemos que $|\mathbb{R}^n|=|\mathbb{R}|$. Desde el conjunto de los subconjuntos finitos de $\mathbb{R}$$\bigcup_{n<\omega}\mathbb{R}^n$, tenemos que la cardinalidad que estamos buscando es $\sum_{n<\omega}{|\mathbb{R}^n|}=\sum_{n<\omega}{|\mathbb{R}|}$. La cardinalidad de esto es $\aleph_0\cdot 2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$.