Grupos finitos con exactamente $n$ GACION clases $(n=2,3,...) $

Question

Estoy en busca de clasificar (hasta el isomorfismo) los grupos finitos de $G$, con exactamente 2 clases conjugacy.

Si $G$ es abelian, entonces cada elemento de su propia clase conjugacy, por lo que sólo el grupo cíclico de orden 2 que funciona aquí.

Si $G$ es no abelian, estoy menos seguro de lo que está pasando. El centro $Z(G)$ es trivial ya que cada uno de sus elementos también forman su propia clase conjugacy. Ahora suponga que $G\{1_G\}$ es la otra clase conjugacy.

La Clase Ecuación dice $|G|=|Z(G)|+\sum [G:C_G(x)]$ donde la suma se toma sobre los representantes de las clases conjugacy (sin contar el singleton desde el centro). (Aquí $C_G(x)=\{g\in G~|~gx=xg\}$ es el centralizador de $x$ de $G$.)

Para nosotros esto se simplifica a $|G|-1=[G:C_G(x)]$ para $x\in G\{1_G\}$. Por lo tanto $|C_G(x)|=\frac{|G|}{|G|-1}$ es un número entero. Pero esto sólo puede suceder cuando $|G|=2$, que ya hemos cubierto. Así que, ¿significa esto hasta el isomorfismo no es sólo un grupo con 2 clases conjugacy?

Si es así, ¿cómo sería el argumento de cambiar si queremos permitidos 3 clases conjugacy?

Answer 1

Buena pregunta! El $n = 3$ caso es divertido y creo que los valores pequeños de $n$ se va a hacer muy buenos ejercicios, así que los invito a trabajar en ellos, pero si usted realmente quiere saber una solución....

Si $H_1, H_2$ denotar los estabilizadores de la no-identidad de las clases conjugacy con $|H_1| \le |H_2|$, entonces la clase de la ecuación de lee $|G| = 1 + \frac{|G|}{|H_1|} + \frac{|G|}{|H_2|}$, o

$$1 = \frac{1} {G} + \frac{1}{|H_1|} + \frac{1}{|H_2|}.$$

La razón de esto es útil es que si alguno de los $|G|$ o $|H_1|$ se vuelve demasiado grande, entonces los términos en el lado derecho se vuelve demasiado pequeño para la suma de us $1$. Ya sabemos que $|G| \ge 3$, se sigue que no debe haber $|H_1| \le 3$; de lo contrario, $\frac{1}{|H_1|} + \frac{1}{|H_2|} \le \frac{1}{2}$, y los términos pueden no suma $1$.

Ahora, si $|H_1| = 2$, entonces $|H_2| \ge 3$, por lo tanto $|G| \le 6$. Ya que cada grupo de orden $4$ es abelian sólo podemos tener $|G| = 6, |H_2| = 3$. La única nonabelian grupo de orden $6$ es $S_3$, que de hecho tiene $3$ conjugacy clases como desee.

Si $|H_1| = 3$, entonces $|G| \ge 3$ implica $|H_2| \le 3$, por lo tanto $|H_2| = |G| = 3$ y $G = C_3$.

Answer 2

Es posible que desee saber que en caso de infinito grupos de la situación es totalmente diferente. En 1949 Graham Higman, Bernard H. Neumann y Hanna Neumann escribió un ahora famoso papel que se llama la Incrustación de Teoremas para Grupos. Se incrusta en un determinado grupo G en otro grupo G' , de tal manera que dos isomorfo subgrupos de G son conjugada (a traves de un isomorfismo) en G'. Por lo tanto, uno puede integrar cualquier contables de grupo en grupo con la propiedad que cualquiera de los dos elementos de igual orden se conjugado. Así, el uso de ese resultado, usted necesita comenzar con su favorito (no trivial) de torsión libre grupo, y se obtiene una infinita grupo con sólo dos clases conjugacy! La prueba de esto HNN-extensión de la construcción utiliza la idea de tomar un ascendente de la unión. En cada paso, usted puede utilizar el HNN extensión de la construcción para incrustar $G_k$ en un grupo de $G_{k+1}$, en el que cualquiera de los dos elementos de $G_k$ son conjugado de siempre sólo que sus pedidos son iguales (puede ser, sin embargo, que dos elementos de $G_{k+1}$, con infinita de órdenes no conjugada en $G_{k+1}$). Después de la formación de la unión de la cadena ${G_k}$ de los grupos, los dos miembros con el mismo orden de pertenecer a una $G_n$, y luego se conjugado en $G_{n+1}$.

Answer 3

El problema de grupos finitos classifyng por el número de clases GACION es clásica y por lo que te puedo decir (teoría del grupo no es mi campo), duro. En este papel, los autores clasifican los grupos con más $11$ GACION las clases.