En la prueba de $ \bigcap \limits_{r \in \emptyset}A_{r}=U$ ¿Por qué? $r \in \emptyset \to x \in A_r$ conduce a U?

Question

" $c \implies p$ "

"Definición 7 $\mathscr F$ sea una familia arbitraria de conjuntos. La intersección de conjuntos en $\mathscr F$ denotado por $\bigcap_{A\in \mathscr F} A$ o $\bigcap \mathscr F$ es el conjunto de todos los elementos que están en A para todo $A\in \mathscr F$ . Es decir,

$\bigcap\limits_{A\in \mathscr F} A$ = { $x \in U$ : $x \in A$ para todos $A\in \mathscr F$ }

Aquí " $x \in A$ para todos $A\in \mathscr F$ "puede expresarse alternativamente como " $A\in \mathscr F \to x \in A $ ." Esta última expresión tiene una ventaja a la hora de demostrar teoremas, como veremos en el próximo Teorema 7.

Si la familia $\mathscr F$ está indexado por el conjunto $\Gamma$ puede utilizarse la siguiente notación alternativa:

$\bigcap \limits_{r \in \Gamma}A_{r}$ = {x $\in U$ : $x \in A_r$ para todos $r \in \Gamma$ }"

" Teorema 7 (b) Sea { $A_r$ |r $\in \Gamma$ } sea la familia vacía de conjuntos; es decir, $\Gamma = \emptyset$ . Entonces $$ \bigcap \limits_{r \in \emptyset}A_{r}=U$$

[prueba] (b) Demostraremos que $x \in \bigcap \limits_{r\in\emptyset}A_r$ para todo x en U. Obsérvese que

$$ x \in \bigcap \limits_{r\in \emptyset}A_r$$ $$\equiv x \in A_r \space\space for \space all\space r \in \emptyset \space\space Def\space 7$$ $$\equiv r \in \emptyset \to x \in A_r$$ "

Fuente: Teoría de Conjuntos por You-Feng Lin, Shwu-Yeng.T

No sé por qué $r \in \emptyset \to x \in A_r$ lleva a U. Sé que se deduce de $ x \in \bigcap \limits_{r\in \emptyset}A_r$ y es verdad porque $r \in \emptyset$ es una contradicción, pero no es más que otra expresión de $ x \in \bigcap \limits_{r\in \emptyset}A_r$ aplicando Def 7, y la prueba no llegó a U. Si $r \in \emptyset \to x \in A_r$ conduce a U, entonces todas las intersecciones de la familia de conjuntos pueden conducir a U.

Eso es, $\bigcap \limits_{r \in \Gamma}A_{r}$ =U desarrollando el paso lógico como $\bigcap \limits_{r \in \Gamma}A_{r} \equiv r \in \Gamma \to x \in A_r$ de la misma manera que, $\bigcap \limits_{r \in \emptyset}A_{r}=U$ lo cual es absurdo.

Answer 1

NO.

$\emptyset$ es el conjunto vacío; por lo tanto : $r \in \emptyset$ es falso para tous $r$ .

Esto significa que, según la tabla de verdad del condicional que :

$r \in \emptyset \to x \in A_r$

es verdadero para tous $r$ y, por tanto $x \in \bigcap \limits_{r \in \emptyset}A_{r}$ .

Pero esto es verdadero para tous $x$ es decir, para todos $x \in U$ .

En conclusión, $x \in U \to x \in \bigcap \limits_{r \in \emptyset}A_{r}$ y esto, por definición de inclusión, significa :

$U \subseteq \bigcap \limits_{r \in \emptyset}A_{r}$ .

Obviamente: $\bigcap \limits_{r \in \emptyset}A_{r} \subseteq U$ y así hemos demostrado $=$ .

Answer 2

Es sólo un detalle de la lógica de predicados. Desde $r\in\emptyset$ es siempre falsa implicará cualquier cosa, especialmente $x\in A_r$ .

Si quieres usar la palabra contradicción sobre $r\in\emptyset$ puedes demostrarlo por reductio ad absurdum:

Primero asumes la premisa $r\in\emptyset$ .

Bajo ese supuesto usted asume $x\notin A_r$ y concluir que $r\in\emptyset$ se deduce que es una contradicción que usted concluiría $x\in A_r$ .

Ahora bien, ya que estaba bajo la premisa $r\in\emptyset$ se deduce que $r\in\emptyset\Rightarrow x\in A_r$ .

También podrías considerar la semántica de lo que dice una implicación. Dice que bajo la condición de que el LHS de la implicación sea verdadero el RHS es verdadero, pero si el LHS no es verdadero no se dice nada sobre la verdad del RHS. Por consiguiente, si el LHS nunca es verdadero, no se dice nada sobre la verdad del RHS (por la implicación).