Principio de máximo - demostrar que la función es creciente/decreciente

Question

$P$ es un $n$ -polinomio de grado . Para $r>0$ definamos: $$M(r,P)=\sup_{|z|=r} |P(z)| $$ Demostrar que la función $r\mapsto M(r,P)$ es creciente y la función $r\mapsto\frac{M(r,P)}{r^n}$ disminuye.

Creo que debería utilizar el principio del máximo. ¿Tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Responderé a la primera parte de la pregunta y daré una pista para la segunda.

Por el principio del módulo máximo, $\left|P(z)\right|$ no alcanza ningún máximo en el dominio $|z|<r$ (Estoy asumiendo $n>0$ Así que $P$ no es constante). Sin embargo, como función continua, alcanza un máximo en el dominio compacto $|z|\le r$ . Esto implica que $\max_{|z|\leq r}\left|P(z)\right| = \max_{|z|=r}\left|P(z)\right| = M(r,P)$ y no se consigue en ninguna parte de $|z|<r$ .

En particular, para todos $|z_0| < r$ tenemos $$\left|P(z_0)\right| \leq \max_{|z|\leq |z_0|}\left|P(z)\right| < \max_{|z|=r}\left|P(z)\right| = M(r,P)$$ Dicho de otro modo, para $r<R$ y todos $|z|=r$ tenemos $\left|P(z)\right|<M(R,P)$ . Una consecuencia directa es que $M(r,P)<M(R,P)$ .

Para la segunda parte, como se menciona en los comentarios, podemos desarrollar $$\frac{M(r,P)}{r^n} = \sup_{|z|=r}\left|\frac{1}{z^n}P(z)\right| = \sup_{\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{r}}\left|Q\left(\frac{1}{z}\right)\right|$$ para un polinomio diferente $Q(z)$ (¿cuál?). Ahora podemos utilizar la parte (a) para concluir (¿cómo?).