Definición: Un conjunto $S \subset \mathbb {R^{n}}$ es Jordania medible si está limitada en $\mathbb {R^{n}}$ y su frontera es un conjunto de medida de Lebesgue cero.
Se ha demostrado que la siguiente conclusión es correcta.
Sea $\varphi : \Omega\subset \mathbb {R^{n}} \rightarrow \mathbb {R}$ ser un $C^{1}$ en el conjunto abierto $\Omega$ . Sea $E$ sea un conjunto compacto medible de Jordan con $ E\subset \Omega$ . Si $\varphi $ es un difeomorfismo en el interior de $E$ entonces $\varphi(E)$ es un conjunto compacto medible de Jordan.
Quiero relajar una condición de la conclusión anterior, sustituyendo la condición
"Let $E$ sea un conjunto compacto medible de Jordan con $ E\subset \Omega$ "
con
"Let $E$ sea un conjunto medible de Jordan con $ \overline{E}\subset \Omega$ ".
¿Tenemos que $\varphi(E)$ ¿es un conjunto medible de Jordan?
Por mi intuición, $\varphi(E)$ puede no ser un conjunto medible de Jordan. Luego intento encontrar algunos ejemplos que apoyen mi opinión, dejemos $\varphi(x)=\tan(x)$ , $E= \Omega=(0,\pi/2)$ . $\overline{E}\not\subset \Omega $ aunque $\varphi(E)$ no es un conjunto medible de Jordan y $\varphi $ es un difeomorfismo en el interior de $E$ .
Desgraciadamente $\overline{E}\not\subset \Omega $ Mi ejemplo no satisface la condición cambiada. ejemplo que niegue estrictamente " $\varphi(E)$ es un conjunto medible jordano". Se lo agradecería mucho.
Todo lo anterior está copiado de aquí .
