Homotopía regular y teorema de la incrustación débil de Whitney

Question

Dos mapas $f$ y $g\in$ $Imm(M,N)$ son homotópicas regulares si son homotópicas mediante inmersiones $h_t:M \to N$ y las derivadas $Th_t:TM \to TN$ de $h_t$ definen una homotopía de monomorfismos de haz $$TM\times [0,1] \to TN, \quad (v,t)\mapsto Th_t(v). $$

Para una inmersión $f:M\to N$ entre dos colectores cerrados $M^m$ y $N^n$ con $2m < n$ el teorema de la incrustación débil de Whitney garantiza que podemos aproximarla de forma arbitraria con una incrustación.

¿Cómo puedo utilizar este hecho para asegurar, que existe una homotopía regular $h:M\times [0,1] \to N$ entre $f$ y una incrustación $g:M\to N$ ?

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Dado que el conjunto de inmersiones es abierto en $C^\infty(M,N)$ una homotopía $h$ de $f$ a un mapa arbirario $g$ consiste en inmersiones, si $|| h_t(x)-f(x)||< \epsilon$ para todos $x\in M$ y para algunos $\epsilon$ . Ahora, para cada mapa $g$ "lo suficientemente cerca" de $f$ podemos encontrar una homotopía que cumpla esta propiedad (por la proposición $15.8.3$ de Tammo tom Topología algebraica de Diecks). Por último, el teorema de incrustación de Whitneys garantiza que existe una incrustación "suficientemente próxima" a $f$ . Así $f$ y una incrustación $g$ son homotópicas por inmersión.

Pero ¿cómo puedo certificar que los derivados de esas inmersiones $h_t:M \to N$ se combinan en una homotopía de monomorfismos de haz?

Answer 1

Permítanme empezar diciendo que no hay nada que comprobar explícitamente sobre la homotopía de los monomorfismos de haz. Si se tiene una homotopía $h$ de forma que cada $h_t:M\xrightarrow{} N$ es una inmersión, cada $h_t$ inducirá un monomorfismo de $TM$ a $TN$ . Desde $h$ es suave, también lo es la homotopía inducida $H:TM\times [0,1] \xrightarrow{} TN$ . Y cada $H_t$ es un monomorfismo porque $h_t$ son inmersiones.

Un enfoque más agradable (pero más avanzado) para ver esto sería utilizar Teorema de Smale-Hirsch que dice $Imm(M,N)$ y el espacio de monomorfismos de haces de $TM$ a $TN$ son débilmente homotópicas equivalentes. En particular, sus "grupos" de homotopía zeroth son isomorfos, por lo que tenemos $$\pi_0\big(Imm(M,N)\big) \cong \pi_0\big(Mono(TM,TN)\big)$$ Obsérvese que dos inmersiones se encuentran en la misma componente conexa si y sólo si son regularmente homotópicas. Análogamente, dos monomorfismos de haz están en la misma componente conexa del camino si son homotópicos a través de monomorfismos. En realidad, el mapa que induce esta equivalencia homotópica débil viene dado por $f\mapsto (f,df)$ donde a la derecha $f$ es el mapa entre espacios base y $df$ es el mapa entre espacios totales. Creo que este mapa, junto con el Teorema de Smale-Hirsch, resuelve tu problema y el resto de tu argumento parece funcionar.

Un pequeño extra: Si conoce $n\geq 2m+2$ en realidad se puede demostrar el resultado para cualquier inmersión $f$ e incrustación $g$ . Desde $M\times [0,1]$ es un $(m+1)$ -el conjunto de las inmersiones que tienen una frontera densa en $C^\infty\big(M\times[0,1],N\big)$ . Ahora toma una inmersión $H$ de $M\times[0,1]$ en $N$ tal que $M\times\{0\}$ y $M\times\{1\}$ se asignan a las imágenes de $f$ y $g$ respectivamente. Se sabe que las inmersiones pueden hacerse autotransversales, así que supongamos que $H$ es autotransversal. Debido a las dimensiones, las auto-intersecciones de la imagen de $H$ debe consistir en puntos, que son finitamente muchos y aislados por compacidad. Elija $\varepsilon>0$ tal que todas las auto-intersecciones en $H\big(M\times [t-\varepsilon,t+\varepsilon]\big)$ se encuentran en el mismo $H(M\times \{t_0\})$ . Ahora, mediante funciones bum apropiadas, se pueden mover estas auto-intersecciones a distintas $t$ -niveles, haciendo que cada $H_t$ una inmersión. Obsérvese que incluso podemos suponer $f$ es una incrustación aquí.