Nilradical está contenida Matar radical.

Question

Tengo una pregunta sobre las álgebras de Lie.

El ejercicio consiste en demostrar que $\mathfrak{n}\subset\text{rad}(K)$ donde $\mathfrak{n}$ es el nilradical y $\text{rad}(K)$ es el radical de la forma de Killing $K$ y que no coinciden en general.

La pista era utilizar el teorema de Engel, es decir $x\in\mathfrak{n}$ si $\text{ad}(x)$ es nilpotente, es decir $\text{ad}(x)^n=0$ para un $n$ . Esto implica que $\text{tr}(\text{ad}(x))=0$ ya que todos los valores propios son $0$ pero no puedo deducir de ello que $\text{tr}(\text{ad}(x)\circ \text{ad}(y))=0$ o (que son suficientes) $\text{tr}((\text{ad}(x)\circ \text{ad}(y))^n)=0$ para todos $y\in\mathfrak{g}$ y algunos $n$ .

Answer 1

Puede demostrar que $\operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x)$ es nilpotente cuando $x$ se encuentra en el nilradical. Escriba una potencia alta de $\operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x)$ : $$(\operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x))^n = \operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x) \cdots \operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x) \,.$$ Ahora usamos ese $\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y) - \operatorname{ad}(y)\operatorname{ad}(x) = \operatorname{ad}([x, y])$ para desplazar el factor situado más a la derecha $\operatorname{ad}(y)$ una posición a la izquierda: $$\begin{align*} &\operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x) \cdots \operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(y) \color{red}{ \operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(y)} \operatorname{ad}(x) \\ & \quad = \operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x) \cdots \operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(y) \color{red}{\operatorname{ad}(y)\operatorname{ad}(x)} \operatorname{ad}(x) \\ & \qquad + \operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x) \cdots \operatorname{ad}(y) \operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(y) \color{red}{\operatorname{ad}([x, y])} \operatorname{ad}(x) \end{align*}$$

Podemos seguir moviendo factores $\operatorname{ad}(y)$ hacia la izquierda, hasta obtener una suma finita de productos de la forma $$\operatorname{ad}(y)^k \cdot (\text{product of }n\text{ factors }\operatorname{ad}(x) \text{ or }\operatorname{ad}([x,y])\text{ in any order}) \,.$$ Basta ahora con demostrar que dicho producto es nulo cuando $n$ es lo suficientemente grande. Esto se debe a que $\operatorname{ad}(\mathfrak n)^n(\mathfrak g) \subset \operatorname{ad}(\mathfrak n)^{n-1}(\mathfrak n)$ es cero cuando $n$ es suficientemente grande, porque $\mathfrak n$ es nilpotente.

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Si en la argumentación no se empieza por los factores más a la derecha $\operatorname{ad}(y)$ al final también obtendrás factores de la forma $\operatorname{ad}([[x,y], y]), \operatorname{ad}([[[x,y], y], y]), \ldots$ pero eso no es problema ya que esos soportes siguen estando en el nilradical.