¿Se puede volver a parametrizar cualquier función continua para convertirla en una función diferenciable?

Question

$|x|$ no es diferenciable en cero. Sin embargo, si la componemos con otra función que se "suaviza" muy suavemente hasta cero, por ejemplo, $x=t^3$ podemos obtener una función $|t^3|$ que es diferenciable en todas partes. Imagino esto como "estirar" $|x|$ para que quede suave. Parece que cualquier función continua podría convertirse en una función diferenciable componiéndola con otra función, que momentáneamente se reduce a una derivada de 0 en todas partes donde la función continua no es diferenciable.

Tal como la he planteado, esta pregunta tiene una solución trivial: $f\circ 0$ es siempre diferenciable (incluso si $f$ no es continua). Así pues, habría que imponer un requisito adicional, para ajustarse a la intuición de "estirar $f$ ." La función que se compone debe ser monotónicamente creciente y debe cubrir todo el dominio de $f$ .

Dada una $f(x)$ ¿puede tal $g(t)$ para que $f(g(t))$ es diferenciable en todas partes?

Answer 1

Hay una amplia clase de funciones para las que esta reparametrización funciona en un punto, digamos el origen. Una función $f$ está en $C^\alpha$ , $0<\alpha$ cuando $$|f(x)-f(y)|\le k|x-y|^\alpha$$

Sea $g_n(x):=x^n$ para $n$ impar, y $g_n(x):=\begin{cases}x^n&x\ge0\\-x^n&x<0\end{cases}$ para $n$ incluso.

Dado $f\in C^\alpha$ , dejemos que $n>1/\alpha$ entonces $$\left|\frac{f(g_n(x))-f(g_n(0))}{x}\right|\le k\frac{|g_n(x)-g_n(0)|^\alpha}{|x|}= k|x|^{n\alpha-1}\to0,\quad x\to0$$ así que $f(g_n(x))=f(0)+o(x)$ .

Esto significa que funciones como $|x|^{\beta}$ , $\beta\ge0$ y las funciones de Weierstrass, pueden suavizarse (en un punto). Pero funciones como $1/\ln|x|$ aunque es continua, no puede suavizarse con esta reparametrización (aunque sí con $g(x)=sgn(x)e^{-1/|x|}$ ).

Answer 2

Si $g(x)$ no es diferenciable en ninguna parte y existe una función monótona diferenciable $f(x)$ puis $f(g(x))$ tampoco será diferenciable porque: $f(g(x))$ = $f(g(x))$ $\implies$ $g(x)$ = $f^{-1}f(g(x))$ desde $f^{-1}$ existe para todo x debido a la monotonicidad, pero por la regla de que la composición de funciones diferenciables es diferenciable (ya que $f$ es diferenciable y monótona $f^{-1}$ será diferenciable en algún punto ( $f'$ será mayor que cero en alguna parte)) y sabemos que $f(g(x))$ es diferenciable ) eso implicaría que $g(x)$ es diferenciable, lo cual es una contradicción.

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Así que una función diferenciable en ninguna parte será un contraejemplo