Sabemos que un cuerpo bajo la acción de un potencial Newtoniano/Coulomb $1/r$ puede describir una órbita elíptica. Por otro lado, también sabemos que un cuerpo bajo la acción de dos Movimientos Armónicos Simples perpendiculares también puede tener una órbita elíptica. De ahí que me pregunte si podemos diferenciar entre un cuerpo bajo la influencia de un potencial central $1/r$ y un cuerpo bajo la acción de dos SHM perpendiculares simplemente observando las órbitas sin conocimiento previo del potencial bajo el que se encuentran. Así que mi pregunta es ¿cómo podemos diferenciar entre estos dos potenciales?
Respuestas
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Tus dos ejemplos son fuerzas centrales. Para la gravedad el potencial es:
$$ U_g = -\frac{k}{r} $$
mientras que para el movimiento armónico simple el potencial es:
$$ U_s = kr^2 $$
Ambos permiten órbitas circulares, y para una órbita circular no se puede saber cuál es cuál. Sin embargo, para una órbita elíptica sí se puede, porque en el caso de la gravedad el origen de la fuerza está en un foco de la elipse, mientras que en el caso de la SHM el origen de la fuerza está en el centro de la elipse.
Como nota al margen: estos son los dos únicos potenciales que tienen órbitas cerradas. Es decir Teorema de Bertrand . El comportamiento también es diferente con respecto al teorema del virial . Para el potencial gravitatorio los valores medios de la energía cinética $T$ y la energía potencial $V$ están unidos por:
$$ 2T = -V $$
mientras que para el potencial SHM obtenemos:
$$ T = V $$
lorenzog
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Me preguntaba si podemos diferenciar entre influencia de un potencial central 1/r y un cuerpo bajo la acción de de dos SHM perpendiculares observando las órbitas sin previa conocimiento previo del potencial al que están sometidos.
Como primera nota, usted ha descrito las dos mociones de maneras diferentes: el primero dinámicamente, el segundo cinemáticamente. En el primer caso tu descripción apunta al tipo de fuerza que actúa, en el segundo al movimiento que es una composición de dos SHM. Por supuesto que conoces la dinámica, como se desprende de su título, donde se recuerda la ley de Hooke.
Un segundo punto es: ¿qué quiere decir exactamente con "sólo observando las órbitas"? Si te refieres simplemente a descubrir que ambas órbitas son elipses, obviamente no hay respuesta - son indistinguibles.
En el otro extremo, supongo que no piensa en identificar el centro de fuerza, lo que daría una solución fácil. Sin embargo, esto podría mediante cinemática pura, calculando la aceleración (vectorial).
Pero existe una vía intermedia, que utiliza la segunda ley de Kepler (la ley de las áreas). En el caso Newton/Coulomb la velocidad tiene un mínimo en un extremo del eje mayor y un máximo en el otro. En el caso de Hooke la velocidad en ambos extremos del eje mayor es la misma, en el mínimo, y el máximo se alcanza en los extremos del eje menor. Así pues, una simple medición de la velocidad daría la respuesta.
