Un buen día a todos.
Si $0 < x \in \mathbb{Q}$ , $0 < y \in \mathbb{Q}$ , $n \in {\mathbb{Z}}^{+} \cup \{0\}$ y $n$ es libre de cuadrados, entonces la función
$$y = f(x) = x + \frac{n}{x}$$
no es biyectiva, ya que hay dos inversas, a saber:
$$J(y) = x_1 = \frac{y - \sqrt{y^2 - 4n}}{2}$$
$$K(y) = x_2 = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4n}}{2}$$
Considera las siguientes expresiones:
$$J^{-1}(J(y)) + K(K^{-1}(y)) = y + \frac{n}{y},$$
donde el segundo término es válido si $n \geq y^2$ .
En caso contrario, el segundo término es
$$K(K^{-1}(y)) = y.$$
Sin embargo, la siguiente expresión no se presta bien a una representación (igualmente) simple -- no obstante, las expresiones resultantes para varios $n \in {\mathbb{Z}}^{+} \cup \{0\}$ parecen ser igualmente interesantes:
$$J(J^{-1}(y)) = y, n = 0,$$ $$J(J^{-1}(y)) = \frac{1}{2}\left(x + \sqrt{{\left(x - \frac{1}{x}\right)}^2 - 4n} - \frac{n}{x}\right), n > 0.$$
Por otro lado:
$$K^{-1}(K(y)) = y.$$
Mi pregunta en este punto sería entonces: ¿A qué ámbito(s) específico(s) podría restringir los valores de los argumentos $0 < x \in \mathbb{Q}$ de la función $f$ para que $0 < y = f(x) = x + \frac{n}{x}$ se convierte en biyectiva (con inversa dada por $J$ o $K$ )?
Gracias.
