Inverso del Teorema fundamental de los módulos finitamente generados

Question

Deje $R$ ser un anillo. Si cada finitely generado por $R$-módulo de $M$ es isomorfo a un número finito producto directo de cocientes de a $R$ por ideales, a continuación, llamar a $R$ una rueda de anillo. Para un dominio $R$ tenemos las implicaciones

$$\rm PID\implies wheel\implies Bezout $$

El $1$st implicación es el contenido del teorema fundamental de la f.g. los módulos a través de un PID. La segunda implicación es equivalente a su contrapositivo, $\neg\rm Bezout\implies\neg wheel$: supongamos $R$ es una rueda de dominio, pero no Bezout. Deje $I$ ser un f.g. no es PI. Desde el ideal de la $I$ es torsionfree y $R$ es de la rueda, $I$ debe estar libre para $R$, y desde $I$ no es principal debe tener el rango de $>1$, por lo que debe existir $a,b\in R$ tal que $Ra+Rb$ es directo. Pero $(-b)a+(a)b=0$, por lo que no puede ser directo, lo cual es una contradicción.

Considere la posibilidad de la reversión $\rm Bezout\Rightarrow wheel\Rightarrow PID$. Bezout es estrictamente una propiedad más débil de PID, de modo que al menos uno de los revertir implicaciones debe ser falsa. Que uno, o ambos, no? Si tenemos $\rm wheel\not\Rightarrow PID$, entonces ¿cuál es un ejemplo de una rueda de dominio que no es un EPI? Por otro lado, si $\rm Bezout\not\Rightarrow wheel$, entonces ¿cuál es un ejemplo de un Bezout dominio que no es de la rueda?

Answer 1

La "rueda" anillos descrito en mi pregunta se llaman FGC anillos en la literatura. Hay una clasificación completa de la propiedad conmutativa de FGC de los anillos, y el trabajo de algunos en no conmutativa de la teoría. La caracterización es que un anillo conmutativo es FGC iff es una suma directa de la máxima valoración de los anillos, casi máxima Bezout dominios, y "la antorcha" anillos. Yo no actualmente ya sabe lo que son, pero al parecer están descritos en Anillos Conmutativos Cuya Finitely Módulos Generados Descomponer (Brandal).

Otra noción similar relacionado conmigo en el chat por Ted Shifrin (uno de sus colegas hicieron algún tipo de trabajo sobre el tema) es que de una primaria divisor de dominio. La prueba usual de el teorema fundamental de finitely generada por los módulos a través de los PIDs de los usos Smith Forma Normal, y un anillo conmutativo es un EDD precisamente si las matrices todavía admitir los Snf. Esto es equivalente a todos los de su f.g. los módulos de admisión de una escuela primaria divisor de descomposición, que es más fuerte que la de ser una suma directa de cíclico submódulos, como en un FGC anillo que todavía podría haber factores que se parecen a $R/I$ para algunos infinitamente generado nonprincipal ideal $I$ (que no es una primaria divisor, donde $I$ es el principal).