Hola, me gustaría preguntarles si existe una teoría matemática, que sea completa (en el sentido del teorema de Goedel) pero aplicable en la práctica. Conozco la aritmética de Robinson que es muy limitada pero incompleta ya. Por lo tanto, me gustaría saber si hay alguna matemática que pueda ser utilizada en la práctica (expresividad) y reducida a la lógica (completitud).
Soy muy nuevo en el sitio y en las matemáticas también, así que por favor dime si es una pregunta tonta.
Probablemente pretendías restringir la pregunta a las teorías efectivamente axiomatizables. De lo contrario, por ejemplo, la teoría de primer orden del modelo estándar de la aritmética es una teoría completa, al igual que la teoría del modelo estándar de ZFC.
El teorema de incompletitud de Gödel establece algunas limitaciones sobre qué teorías efectivas pueden ser completas. Demuestra que ninguna teoría eficaz, completa y consistente puede interpretar ni siquiera teorías débiles de la aritmética, como la aritmética de Robinson. Sin embargo, hay muchas teorías matemáticamente interesantes que no interpretan los números naturales.
Algunos ejemplos de teorías completas, consistentes y efectivamente axiomatizables son:
http://en.wikipedia.org/wiki/Real_closed_field
Los axiomas de campo real cerrado pueden responder directamente a la pregunta de si un polinomio con coeficientes algebraicos tiene un cero en un intervalo con extremos algebraicos, y clasificar para qué coeficientes y extremos el polinomio tiene un cero en el intervalo.
Puede interpretar la geometría y el campo complejo y, para cualquier k particular, los espacios vectoriales R^k y C^k con matrices que operan sobre ellos.
La aritmética de Presberger se utiliza en la práctica para la verificación de software, por ejemplo, para demostrar que un fragmento de programa está libre de desbordamientos de subíndices de matrices. Básicamente, el programa tiene expresiones como a[3*i+k] y se quiere demostrar que el subíndice nunca es mayor que el tamaño de la matriz. Si tienes algo como a[m*n+k] la multiplicación de dos variables m y n sólo puede expresarse en aritmética Peano, lo cual es indecidible, pero a menudo es posible escribir programas sin tales multiplicaciones de variables en subíndices. (La multiplicación por constantes puede expresarse mediante sumas repetidas, por supuesto). El artículo de Wikipedia sobre aritmética de Presburger tiene algo de información al respecto.
Además, los compiladores de lenguajes de programación sofisticados se basan en la decidibilidad de teorías aún más débiles para manejar la inferencia de tipos y la igualdad de tipos. Lo mismo ocurre con la comprobación de modelos en el diseño de hardware, etc. Estas cosas son cada vez más importantes en el mundo real, y no muchos programadores e ingenieros saben mucho sobre ellas. Creo que es un buen momento para ser un lógico, incluso si no puedes conseguir un trabajo en el mundo académico.
Quizás merezca la pena añadir algunos comentarios a la lista de no triviales teorías completas no triviales dada por Carl Mummert. Una observación es que la completa de la geometría euclidiana es una consecuencia de la de la campos reales cerrados ordenados (aprovechando la posibilidad de "aritmetizar" la geometría mediante coordenadas cartesianas). La otra es que la completitud de la teoría de las ordenaciones lineales densas sin puntos finales es sólo una en un conjunto formado por teorías afines. En realidad, todas las 4 teorías posibles de ordenaciones lineales densas, es decir es decir, las que no tienen puntos finales, tienen tanto elementos primeros como últimos, las que sólo tienen el primer elemento y las que sólo tienen el último elemento son completas. Análogamente, todas las 4 teorías posibles de discreto lineal ordenaciones lineales (con el requisito adicional de infinitud en el caso de tener tanto el primer elemento como el último) también son completos. Además, existe una bonita analogía entre las ordenaciones lineales y las álgebras de Boolen (BA) a este respecto: las BA sin átomos corresponden a ordenaciones densas, las BA atómicas a los ordenamientos discretos. De hecho, tanto la teoría de las como las atómicas infinitas son completas.
Es posible que esta respuesta no sea útil y esté poco informada, pero una buena fuente de información podría ser el libro Teorías completas por Abraham Robinson. No lo he leído, sólo lo vi por casualidad mientras hojeaba la sección de matemáticas de mi biblioteca. Si ha investigado, es posible que haya encontrado este libro. Si no, merece la pena echarle un vistazo.
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