Me preguntaba si se podría construir una función infinitamente diferenciable en la que cada derivada sea $\infty$ en $0$ . He intentado algunas ideas como la función de protuberancia, pero en realidad no llegar a ninguna parte. ¿Alguien tiene una idea?
Respuesta
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Nikolai Prokoschenko
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Como el infinito no es un número, hay que traducirlo a límites para que tenga sentido.
Incluso entonces, hay un problema a cada lado de $0$ : si $f'(x) \to +\infty$ como $x \to 0$ entonces
- quizá no le sorprenda demasiado ver un ejemplo de $f''(x) \to +\infty$ como $x \to 0^-$ ya que $f'(x)$ debe estar aumentando en algún lugar justo por debajo de $0$ y de $f''(x) \to -\infty$ como $x \to 0^+$ ya que $f'(x)$ debe estar disminuyendo en algún lugar justo por encima de $0$ ;
- te sorprendería ver $f''(x) \to +\infty$ en ambos casos como $f'(x)$ no puede aumentar cuando ya es infinito.
Si no te importa el signo de la derivada infinita, puedes intentar algo como $$f(x)=x^{1/3}$$ cuando $x\not =0$ y $f(0)=0$ utilizando raíces cúbicas reales de números negativos. Tiene derivadas $$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}}{\left(x^{1/3}\right)^{3n-1}}\prod\limits_{k=1}^n \left(k-\frac13\right)$$ con el límite del absoluto $n$ siendo la derivada $$\lim\limits_{x \to 0} \left|f^{(n)}(x)\right|=\infty$$ para cualquier número entero positivo $n$ y tanto para todas las derivadas impar como para las negativas $x$ e incluso derivados tienes $\lim\limits_{x \to 0}f^{(n)}(x)=+\infty$ .
