¿Por qué $y = x\sin(\frac{180}{x})$ enfoque $\pi$ ?

Question

Hace unos días estaba jugando con mi calculadora científica y me topé con una pequeña ecuación interesante: $180\sin(1)$ está muy cerca de $\pi$ . Al principio pensé que era una coincidencia, pero luego intenté $360\sin\left(\frac{1}{2}\right)$ y estaba más cerca de pi. Entonces probé $90\sin(2)$ y estaba más lejos de $\pi$ . Así que se me ocurrió la ecuación $y = 180x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ que luego simplifiqué a $y = x\sin\left(\frac{180}{x}\right)$ . Aunque se acerca $\pi$ más lento (180 veces más lento), es más fácil entender lo que pasaba en la calculadora gráfica desmos. Parece que cuanto mayor es el $x$ cuanto más se acerque a $\pi$ . Me gustaría saber por qué ocurre esto exactamente.

EDIT: (El seno está en grados, no en radianes, sólo como aclaración)

Answer 1

Dado que sigues utilizando grados para las funciones trigonométricas, no estoy seguro de lo familiarizado que estás con el cálculo. Pero voy a tratar de explicar lo que sucede sin cálculo, y luego mostrar lo que sucede con el cálculo.

En $x$ se hace más grande, hará que su ecuación $y$ aumentar. Al mismo tiempo, el argumento dentro de $\sin$ se está haciendo muy pequeño porque estás dividiendo por $x$ . En $\sin$ se evalúa cerca de cero, la salida también será muy cercana a cero. Es posible que haya visto antes que $$\sin(\theta) \approx \theta$$ cuando $\theta$ es pequeño. En fin, resumiendo, estás observando una batalla matemática en la que una parte de las funciones quiere divergir hasta el infinito, y está siendo multiplicada por otra parte de la función que tiende a cero. Como habrás observado, la batalla se equilibrará en $\pi$ en este caso concreto. Una vez que sepas (más) cálculo, tendrás herramientas para medir a qué velocidad crecen o decrecen las funciones, y podrás evaluar límites como éstos. Una herramienta útil es la llamada "regla de L'Hospital", que aplicada a tu función diría que $$lim_{x \rightarrow \infty} \left[x \cdot \sin\left(\frac{180}{x}\right)\right]$$ $$=lim_{x \rightarrow \infty} \left[\frac{ \sin\left(\frac{180}{x}\right)}{x^{-1}}\right]$$ $$=lim_{x \rightarrow \infty} \left[\frac{ \cos\left(\frac{180}{x}\right)\cdot \frac{-180}{x^2}}{-x^{-2}}\right]$$ $$=lim_{x \rightarrow \infty} \left[180\cos\left(\frac{180}{x}\right)\right]$$ Ahora usted puede argumentar que desde $lim_{x \rightarrow \infty}\frac{180}{x}=0$ y $\cos(0)=1$ que $lim_{x \rightarrow \infty}\cos\left(\frac{180}{x}\right)=1$ . Así que $$lim_{x \rightarrow \infty} \left[180\cos\left(\frac{180}{x}\right)\right]=180 \cdot 1=180$$ Y como $180$ grados es lo mismo que $\pi$ radianes, hemos demostrado matemáticamente justo lo que has presenciado en tu calculadora.

EDITAR: @Rodolvertice Si te interesan más límites como estos, te diré que creo que un resultado muy chulo viene de $$\lim_{x \rightarrow \infty} \left[\left(1+\frac{1}{x} \right)^x\right]$$

Answer 2

Sugerencia :

$$ \lim_{x \to \infty} x \sin{\pi/x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin{\pi /x}}{1/x} = \ldots$$

L'Hôpital es ahora su amigo.

¡Salud!

Answer 3

$$\lim_{x \to \infty} x \sin_{deg} \frac{180}{x} = \lim_{x \to \infty} x \sin_{rad} \frac{\pi}{x} = \pi\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}$$ donde $y=\frac{\pi}{x}$

Answer 4

Así que una vez llegué a la misma conclusión, que a medida que "x" se acerca al infinito, entonces el valor "xSin(180/x)", en grados, se acerca a pi. Pero yo tenía un enfoque más deliberado en esto la primera vez que me di cuenta.

Es muy sencillo... Traté a todos los demás polígonos regulares como tratamos a un círculo... para que también tuvieran constantes, como "pi" lo es para un círculo... derivando una fórmula que relacionara el número de lados del polígono "n" y la distancia más larga desde el centro del polígono "D" con el perímetro del polígono "C".Tal como es "C = (pi)D".

Entonces acabé con "C o P = [nSin(180/n)]D". De modo que la constante de la forma "k" = "nSin(180/n)". Pensé que, por lógica, esto DEBERÍA acercarse a pi a medida que "n" se acerca al infinito. Me dio esta gráfica introduzca aquí la descripción de la imagen

Así que puedes ver que cuando calculas "xSin(180/x)", tu valor de "x" es en realidad el número de lados de esa forma regular... y a medida que "x" se acerca al infinito, es decir, infinitos lados de círculo, obtienes (pi).

De hecho, podrías probar y jugar para llegar a la misma conclusión que yo. Es bastante correcto. Espero que esto ayude :)