Teoremas que dicen "tal o cual método no puede demostrar FLT"

Question

Después de una pregunta anterior que hice https://mathoverflow.net/questions/31565/request-for-comments-about-a-claimed-simple-proof-of-flt-closed se cerró, alguien sugirió en los comentarios que hiciera otra pregunta más adecuada para MO. Esa pregunta es la siguiente:

¿Existe algún teorema no trivial del tipo "El método X no puede demostrar FLT"?

La razón por la que pregunto es porque me gustaría saber (por razonamiento deductivo y no basándome en 350 años de experiencia) si es imposible demostrar la FLT utilizando métodos elementales.

Answer 1

Durante un tiempo, al final de la licenciatura y al principio del posgrado, gané algo de dinero corrigiendo las pruebas incorrectas de FLT de un matemático aficionado entusiasta. (Fue una buena experiencia, él era académico en otro campo, así que era profesional y estaba dispuesto a pagar lo que valía mi tiempo). La primera vez que leí su argumento intenté convencerle de que el método estaba condenado al fracaso. No le interesó tratar de entenderlo, pero quizá siga siendo informativo aquí.

Su método de prueba consistía en considerar la "paridad" (es decir, la mayor potencia de 2 que es un factor) de cada lado de la ecuación. Luego hacía cambios de variables cada vez más esotéricos hasta que inevitablemente aplicaba mal la parte complicada de la desigualdad del triángulo no arquimediano (es decir, si 4 divide a x y 4 divide a y, entonces no tienes ni idea de cuál es la "paridad" de x+y). En ese momento se produjo una contradicción.

¿Por qué está condenado al fracaso? Bueno, cualquier argumento razonable en este sentido se aplicaría a los números enteros 2-ádicos. Sin embargo, si p es un primo impar, entonces la serie de potencias para la raíz p-ésima converge 2-ádica. Así que cada entero 2-ádico es una p-ésima potencia, por lo que ciertamente la ecuación de Fermat tiene montones de soluciones enteras 2-ádicas no triviales.

Answer 2

Según la revisión del documento

MR2006194 Avigad, Jeremy Teoría de números y aritmética elemental. Philos. Math. (3) 11 (2003), no. 3, 257--284

Harvey Friedman (que es el experto en este tipo de cuestiones) ha conjeturado que la FLT es demostrable en aritmética elemental de funciones, una forma muy débil de aritmética que contiene suma, multiplicación, exponenciación y alguna forma bastante débil de inducción. Una demostración en esta teoría sería elemental en casi cualquier sentido razonable de la palabra "elemental", pero presumiblemente bastante larga.

Answer 3

La motivación "porque me gustaría saber [...] si es imposible demostrar la FLT utilizando métodos elementales" parece requerir un comentario. Es mucho más probable (en mi opinión) que sea cierto que la FLT puede demostrarse por métodos técnicamente elementales, sino que la prueba es del tipo que nunca debería imprimirse (para salvar los árboles) y es totalmente ilegible e inútil para los humanos.

Este tipo de debate se lleva produciendo, de forma latente, en la teoría de la prueba desde hace medio siglo o más. Hay una especie de "compilación" que es posible, y que se ha llamado "proof unwinding", para sustituir el uso de conceptos de orden superior por otros más elementales, mostrando que los de orden superior son sustancialmente "sólo" abreviaturas. En cualquier caso, creo que para un matemático es más saludable aceptar el poder abreviador de los conceptos.

Así que no voy a comentar si esto se ha hecho o es probable o posible hacerlo. En realidad estoy tratando de hacer un punto como: La FLT no es como la cuadratura del círculo, donde se puede decir con seguridad que un cuadrista es un maniático. Una "prueba elemental de FLT" probablemente no es un objeto imposible. Quizás sea un objeto demasiado espantoso de contemplar. Pero es poco probable que estemos seguros (nunca) de que no exista alguna simplificación ingeniosa. Creo que este tipo de discusión es necesaria para poner en contexto las otras respuestas; y es un terreno mucho más traicionero que las observaciones de que las congruencias no son suficientes.

Answer 4

En general, descartar el método X es mucho más difícil que el propio método X, por lo que no hay que esperar necesariamente que para cualquier método que no funcione se pueda encontrar un "certificado" que establezca su insuficiencia. Dicho esto:

Hay muchos entornos (anillos) en los que la ecuación algebraica de FLT tiene sentido, pero tiene solución. Si los ingredientes del método X se aplican en uno de esos entornos, no están utilizando propiedades suficientemente específicas de los números enteros para demostrar la FLT. Es bien sabido que si Método X = congruencias (reducción modulo $t$ para diferentes valores de $t$ ), entonces este argumento funciona en anillos de $p$ -números arcaicos en los que FLT tiene soluciones. Del mismo modo, si el método X = desigualdades, entonces tendría que descartar las soluciones reales positivas de $x^n + y^n = z^n$ .

Otra posibilidad, que requiere muchos más conocimientos, sería utilizar las estrechas relaciones entre FLT y las curvas elípticas (Frey, Wiles, etc) para proyectar el método X sobre el lienzo de la prueba de Wiles y ver cuánto de él puede entenderse y delimitarse en esos términos. Podría ser que X esté intentando construir objetos no triviales de cierto tipo (especialmente clases de cohomología) y que uno pueda ver a la luz de los métodos de Wiles que las clases relevantes son cero, que las extensiones de campo o coberturas necesarias son triviales, que no se eliminan obstrucciones importantes, etc. Este enfoque se mantiene dentro de entornos en los que la FLT es cierta, pero intenta subsumir el método X dentro de las líneas de ataque existentes, y mostrar que sólo incluye una parte de lo que se necesita.

Otra idea es la "matemática inversa", para representar el Método X como derivaciones formales en algún sistema débil Y de aritmética, y mostrar que FLT es de mayor fuerza teórica de la prueba (porque implica todos los teoremas de un sistema aún más fuerte Z). Esto es improbable porque el FLT es un enunciado demasiado especializado y las calibraciones teóricas de la fuerza sólo funcionan para teoremas razonablemente genéricos con muchos parámetros que se pueden variar.

EDIT: Debo añadir que cada uno de estos enfoques ha sido perseguido para demostrar que el problema P=NP no tiene soluciones elementales. El teorema de Baker-Gill-Solovay demostró que existen entornos (oráculos) en los que P=NP tiene una respuesta diferente, pero los métodos sencillos de demostración seguirían funcionando. El artículo de Razborov-Rudich "pruebas naturales" demostró que cualquier prueba que compartiera ciertas características de todos los argumentos entonces conocidos (para probar límites inferiores en la complejidad de circuitos) no podría producir límites que crecieran más rápido que cualquier polinomio. Y hay sistemas formales débiles cuya clase más general de lenguajes definibles o funciones construibles es exactamente P o NP; el propio Stephen Cook tiene muchos artículos sobre el enfoque de la lógica/sistemas formales a P=NP.

Answer 5

También existe el enfoque relativo, que consiste en demostrar que hacer que el método X funcione es al menos tan difícil como resolver algún conjunto de problemas difíciles conocidos, debido a reducciones relativamente sencillas entre los problemas. Esto es lo que se ha hecho para el problema P=NP --- miles de problemas NP son computacionalmente equivalentes entre sí --- así como para la Hipótesis de Riemann, que tiene un gran número de equivalentes conocidos. Si tuvieras la brillante idea de sustituir la función zeta de Riemann no elemental y las afirmaciones sobre sus ceros por afirmaciones sobre la distribución de los primos, o sumas de la función de Moebius, entonces la traslación entre esos contextos es conocida y mucho más fácil que la teoría de la propia función zeta, así que tendría que haber alguna idea elemental que la gente hubiera pasado por alto en todos y cada uno de esos entornos equivalentes.

Por ejemplo, si el Método X = "demostrar una forma efectiva de la conjetura ABC" (la forma no efectiva implica FLT para exponentes grandes usando unas pocas líneas de álgebra), entonces las soluciones de docenas de problemas difíciles sin resolver, y demostraciones más fáciles de teoremas muy difíciles, estarían aseguradas tan pronto como uno pudiera llevar a cabo el Método X. Dado que las reducciones de estos problemas a la conjetura ABC son a menudo bastante sencillas, cualquier idea elemental utilizada para llevar adelante el Método X se traduciría inmediatamente en métodos elementales para las docenas de otros problemas, y es menos probable que nadie se hubiera dado cuenta de ello en ninguno de los otros problemas activamente estudiados.