¿Por qué podemos decir "Dejemos $(x_n)$ sea una sucesión de Cauchy en $X$ "?

Question

Soy muy nuevo en el análisis. Para mostrar un espacio $X$ es completa, siempre comienzan con, por ejemplo, "Let $(x_n)$ sea una sucesión de Cauchy en $X$ ". Pero estoy confundido que por qué podemos debe encontrar una secuencia de Cauchy en $X$ sin conocer ninguna propiedad de $X$ . En otras palabras, debe existir la secuencia de Cauchy en cualquier espacio $X$ ¿Por qué?

Sé que las sucesiones de Cauchy son aquellas cuyos elementos se acercan más y más en términos de una norma, a medida que la etiqueta se hace más y más grande. Aunque creo que nada garantiza que tal secuencia exista en un espacio arbitrario.

Por ejemplo, de un libro de texto: (Preste atención a mis observaciones)

Para mostrar un subespacio lineal $M$ de un espacio de Banach $(X, \|\cdot\|)$ es completa si y sólo si es cerrada.

Complete $\Rightarrow$ Cerrado:

1. Sea $x \in \overline{M}$ entonces existe una secuencia $(x_n)$ en $M$ tal que $\|x_n - x\| \to 0$ como $n \to \infty$ . (Observación: ¿Por qué existe esta secuencia? ¿Por qué se garantiza que podemos encontrar tal secuencia?)
2. Desde $(x_n)$ converge, es Cauchy. (Observación: Esto es cierto si $M$ es un espacio lineal normado. Un subespacio de un espacio normado debe estar normado con la misma norma ).
3. Integridad de $M$ garantiza la existencia de un elemento $y \in M$ tal que $\|x_n - y\| \to 0$ como $n \to \infty$ .
4. Por unicidad de límites, $x = y$ .
5. Por lo tanto $x \in M$ y en consecuencia $M$ está cerrado. (Observación: Cuál es la definición de conjunto cerrado: ¿Su conjunto complementario es abierto, o, los puntos límites de todas sus secuencias están contenidos en él? Si es la segunda, $(x_n)$ es "cualquier" secuencia en lugar de "una" secuencia en el paso 1, y en consecuencia $x$ aquí está cada punto límite )

Complete $\Leftarrow$ Cerrado:

1. Sea $(x_n)$ sea una sucesión de Cauchy en $M$ . (Observación: ¿Por qué existe tal sucesión de Cauchy y se puede encontrar? ¿Quién puede garantizarlo? ¿De hecho, aquí significa "una" secuencia de Cauchy o "cualquier" secuencia de Cauchy?)
2. Entonces $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy en $X$ .
3. Desde $X$ es Banach y por tanto completa, existe un elemento $x \in X$ tal que $\|x_n - x\| \to 0$ como $n \to \infty$ .
4. Pero entonces $x \in M$ desde $M$ está cerrado. (Observación: ¿Es esto por definición de conjunto cerrado que he mencionado?)
5. Por lo tanto $M$ está completo. (Observación: parece que no "a" sino "cada" secuencia de Cauchy en el paso 1 ).

Como ya he dicho, soy muy nuevo en el análisis. Realmente espero que alguien pueda ayudarme a revisar y contestar mis observaciones cuidadosamente. Gracias de antemano por su paciencia.

Answer 1

En cualquier espacio no vacío $X$ hay secuencias de Cauchy. Basta con tomar algunas $x\in X$ y definir $(\forall n\in\mathbb{N}):x_n=x$ .

En cuanto a la pregunta de por qué $x\in\overline M$ implica que existe una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ que converge a $x$ porque esa es una de las propiedades de la clausura (algunos autores la toman como la definición de cierre).

Y, sí, cuando hablamos de un subespacio de un espacio normado, la suposición por defecto es que la norma es la misma que la del espacio original.

Por último, en cuanto a la definición de conjunto cerrado, te toca a ti decirnos qué definición contiene ese libro de texto tuyo. No es que todos los libros de texto utilicen la misma definición.

Answer 2

Si no hay secuencias de Cauchy, el espacio es automáticamente completo, por lo que no hay nada que demostrar.

Answer 3

Debe demostrarlo:

$(x_n)$ secuencia de cauchy en $X \Rightarrow (x_n)$ converge

La implicación $p \Rightarrow q$ es verdadera si $p$ es falsa, por lo que si no hay secuencias de Cauchy, la afirmación es trivialmente cierta.

Por supuesto, en un espacio no vacío $X$ cualquier sucesión constante es una sucesión de Cauchy, por lo que siempre se puede encontrar una sucesión de Cauchy.

Answer 4

Esta situación ilustra en parte lo que ocurre aquí: Un instructor pregunta si todos los teléfonos móviles de la clase están apagados. Si resulta que no hay móviles en el aula, entonces la respuesta es "sí". Esto tiene sentido, como puedes ver si lo piensas.

¿Cada secuencia de Cauchy en $X$ convergen? Responder "sí" a esta pregunta significa que si existe al menos una sucesión de Cauchy, ésta y todas las demás convergen. Del mismo modo que "sí" en el párrafo anterior significa que si hay al menos un teléfono móvil en el aula, entonces éste, y todos los demás, están apagados.

Sin embargo, también se da el caso de que todo espacio métrico no vacío contiene al menos una sucesión de Cauchy, ya que toda sucesión constante es una sucesión de Cauchy.