Período de $f(2x+3)+f(2x+7)=2$

Question

Tengo un problema para encontrar el periodo de funciones dadas en forma de ecuaciones funcionales.

Q. Si $f(x)$ es periódica con periodo $t$ tal que $f(2x+3)+f(2x+7)=2$ . Encuentre $t$ . ( $x\in \mathbb R$ )

Lo que hice:

$$f(2x+3)+f(2x+7)=2.........(1)$$

Sustitución de $x$ con $x-1$ en $(1)$ ,

$$f(2x+1)+f(2x+5)=2.........(2)$$

Y sustituir $x$ con $x+1$ en $(1)$ ,

$$f(2x+5)+f(2x+9)=2.........(3)$$

Restando $(2)$ de $(3)$ Me sale $$f(2x+1)=f(2x+9)$$

Desde $x \in \mathbb R \iff 2x \in \mathbb R$ , reemplazar $2x$ con $x$ para conseguir $$f(x)=f(x+8)\implies t=8$$

Pero lamentablemente, la respuesta de mi libro de texto es $t=4$ .

¿Es correcto mi método? ¿Cómo puedo estar seguro de que el $t$ ¿entonces lo encontrado es lo de menos?

Answer 1

Me pareció complicado y puede que me equivoque, pero creo que tienes razón y el libro no.

Si $f(2x+3)+f(2x+7)=2$ para todos los reales $x$ , entonces podemos tomar $x=(y-3)/2$ para dar $$f(y)+f(y+4)=2\tag{$ * $}$$ y luego, siguiendo esencialmente su argumento, $$f(y)=f(y+8)$$ para todos los reales $y$ . Supongamos ahora que $f$ tiene periodo $t$ : recuerda que esto significa $t>0$ y $f(y)=f(y+t)$ para todos los reales $y$ y que no hay ningún positivo más pequeño $t$ tiene la misma propiedad. Supongamos que existe un número entero $k$ tal que $$kt<8<(k+1)t\ ;$$ esto se puede reescribir como $$8=kt+t'\quad\hbox{with}\quad 0<t'<t\ .$$ Entonces tenemos $$f(y)=f(y+8)=f(y+t'+kt)=f(y+t')\quad\hbox{for all $ y $},$$ lo que contradice el hecho de que $f$ tiene periodo $t$ . Por lo tanto, debemos tener $8=kt$ para algún número entero positivo $k$ Es decir, $t=8/k$ .

Ahora $k$ no puede ser par, ya que si $k=2m$ entonces para todos $y$ tenemos $f(y)=f(y+mt)=f(y+4)$ en conjunción con $(*)$ esto demuestra que $f(y)=1$ para todos $y$ que no es (estrictamente hablando) periódico.

Sin embargo, es posible que el periodo sea $t=8/k$ con $k$ impar. Por ejemplo, tome $$f(y)=1+\sin\Bigl(\frac{2\pi y}{t}\Bigr)\ .$$ Entonces, como es bien sabido, $f$ tiene periodo $t$ También $$f(y)+f(y+4) =1+\sin\Bigl(\frac{2\pi y}{t}\Bigr)+1+\sin\Bigl(\frac{2\pi y}{t}+k\pi\Bigr)=2$$ para todos $y$ según sea necesario.

Answer 2

"¿Cómo puedo estar seguro de que la t así encontrada es la menor?"

Respuesta : encontrando un ejemplo en el que $8$ es el período más pequeño. Por ejemplo, tomemos $f$ tal que $f(x)=\frac{x-8k}{2}$ cuando $x\in[8k,8k+4[$ y $f(x)=\frac{8k+8-x}{2}$ cuando $x\in[8k+4,8k+8[$ para cada $k\in{\mathbb Z}$ .

Esto crea una función "diente de sierra" y sólo los múltiplos de $8$ son períodos.

Answer 3

El punto es 4. Es correcto. Tienes $f(2x+1)=f(2x+9)$ , es decir, el período de $f(2x)$ es $8$ . Así que el período de $f(x)$ es $4$ .

Answer 4

Ya que tenemos $f(2x) = f(2x + 8)$ para todos $x$ , Si asumimos $g(x) = f(2x)$ entonces tenemos $g(x + 4) = g(x)$ y por lo tanto $g(x)$ es periódica con periodo $4$ no $f(x)$ .

Answer 5

El periodo es $4$ . En realidad $f(x)$ y $f(2x)$ son funciones diferentes. Ya ves, $\cos(2x)$ y $\cos(x)$ son diferentes. El período de $\cos(x)$ es $2\pi$ pero el periodo de $\cos(2x)$ es $\pi$ . Del mismo modo, el período de $f(x)$ es el periodo de $f(2x)/2$ .