¿Toma la exponencial matricial conjuntos abiertos en conjuntos abiertos?

Question

Esto es de Hall Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones en el teorema $2.13$ :

Sea $B_\varepsilon$ sea la bola abierta de radio $\varepsilon$ sobre cero en $M_n (\mathbb{C})$ [ $= \mathbb{C}^{n\times n}$ ] (...). Supongamos que $\varepsilon < \log 2$ . Entonces, hemos demostrado que "exp" toma $B_\varepsilon$ de forma inyectable en $M_n (\mathbb{C})$ con inversa continua que denotamos "log". Ahora bien, sea $U =\exp(B_{\varepsilon /2})$ que es un conjunto abierto en $GL(n; \mathbb{C})$ .

La última frase no me parece obvia. Una función continua general no lleva conjuntos abiertos a conjuntos abiertos, así que probablemente tenga que ver con que la exponencial sea inyectiva o con la desigualdad $||e^X|| \le e^{||X||}$ . ¿Cuál es la prueba de ello?

Answer 1

Aquí tiene :)

También se desprende claramente de lo que está escrito sólo en el texto: Si acepta que 1) $ \exp $ es inyectiva en el dominio $ B_\epsilon $ y 2) la inversa $ \log $ es continua, entonces se obtiene $ \exp( B_{\epsilon /2} ) = \log^{-1}( B_{\epsilon /2} ) $ es abierto, ya que es una preimagen de un conjunto abierto bajo una función continua.

Answer 2

Citaré el teorema de su mismo libro que Hall utiliza en su demostración del teorema 2.13.

Teorema 2.8. La función $$ \log A =\sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1}\frac{(A-I)^m}{m}$$ está definida y es continua en el conjunto de todos los $n\times n$ matrices complejas $A$ avec $||A-I||<1$ .

Para todos $A$ avec $||A-I||<1$ , $$\tag{1}\label{explog} e^{\log A} = A.$$ Para todos $X$ avec $||X||<\log 2$ , $||e^X-I||<1$ y $$\tag{2}\label{logexp} \log e^X = X. $$

Obsérvese que el dominio del $\log$ es igual a $B(I,1)$ donde $B(C,δ)$ denota la bola abierta en $M_n(\mathbb{C})$ (el conjunto de todos los $n\times n$ matrices complejas) de centro $C$ y radio $δ$ en la métrica inducida por la norma de Frobenius.

Dos cosas se deducen inmediatamente de \eqref {explog}:

• Dado que el exponencial de cualquier matriz es siempre invertible, $B(I,1)\subset \operatorname{GL}(n;\mathbb{C})$ . Es decir, $\log$ se define realmente en un subconjunto del conjunto de matrices complejas invertibles.
• En $\log$ es inyectiva.

Veamos que $U=\exp(B_{ε/2})$ está abierto en $\operatorname{GL}(n;\mathbb{C})$ . En primer lugar, de \eqref {logexp} es fácil demostrar que $\log (U)=B_{ε/2}$ . Entonces, de esta última igualdad sólo se deduce que $U\subset \log^{-1}(B_{ε/2})$ . Sin embargo, es precisamente gracias a que $\log$ es inyectiva que la $\subset$ debe ser una igualdad. Así $U = \log^{-1}(B_{ε/2})$ está abierto en $B(I,1)\subset \operatorname{GL}(n;\mathbb{C})$ y, por tanto, abierto en $\operatorname{GL}(n;\mathbb{C})$ (de hecho, como también $\operatorname{GL}(n;\mathbb{C})$ es un subconjunto abierto de $M_n(\mathbb{C})$ -pensar en preimágenes de la función determinante- el conjunto $U$ está abierto en $M_n(\mathbb{C})$ ).