Me encontré con un problema elemental en una pequeña competición de cálculo de la universidad local. Después de un poco de estudio, sin embargo, me parece que no parece tan obvio para resolver.
Dada la secuencia definida como $$x_{n+1}=\frac{x_n}{1-e^{-x_n}}-a,\quad(0<a<1)$$ con $x_1=1-a$ demuestre su convergencia y encuentre el límite.
(Aquí creo que el punto inicial $x_1$ puede no ser importante para la convergencia o el límite, dejemos que $x_1=1-a$ es sólo para que los estudiantes simplifiquen su respuesta en una prueba de este tipo, una prueba general puede no necesitar el valor de $x_1$ .)
Un simple intento:
Si la secuencia converge, no es difícil encontrar el límite es la raíz de la función $f(x)$ que es $$f(x)=\frac{x}{e^x-1}=a$$ y fácil de mostrar $f(x)$ es monótona respecto a $(0,1)$ que garantiza $f(x)=a$ siempre tiene la única raíz, así como el límite de secuencia, denotando $x_0$ .
Una idea directa es probar la secuencia $\{x_n\}$ es monotónicamente creciente hasta su límite superior $x_0$ . (Pero es sólo una suposición, tal vez mi idea es errónea desde el principio).
Para utilizar la inducción, es fácil comprobar $1-a=x_1<x_2<x_0$ . Ahora bien $1-a=x_1<x_{n-1}<x_n<x_0$ el problema puede resolverse si podemos demostrar que $1-a=x_1<x_n<x_{n+1}<x_0$ . La monotonicidad $x_n<x_{n+1}$ también es fácil comprobar si ya tenemos $x_n<x_0$ Sin embargo, $x_{n+1}<x_0$ no es tan obvio de demostrar.
Tal vez una idea tan simple no sea el enfoque adecuado, así que espero alguna otra sugerencia. Gracias de antemano.
