En $\int_0^{1/2} \frac{1}{x\ln x}dx$ convergen?

Question

Probé esto:

$$ \begin{align*} \ln x &= t \\ \frac{1}{x} dx &= dt \\ \lim_{x \to 0^+} \ln x &= -\infty \end{align*} $$

Así que ahora tenemos

$$ \int_{-\infty}^{\ln(1/2)} \frac1t dt $$ que no converge, ¿es correcto?

Answer 1

Sugerencia

$$\int\frac{1}{x\ln(x)}\mathrm d x=\ln(|\ln(x)|).$$

Answer 2

$\int _0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{x\ln \left(x\right)}dx=-\infty \:$

$\mathrm{Apply\:Integral\:Substitution:}\:\int f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g^{'}\left(x\right)dx=\int f\left(u\right)du,\:\quad u=g\left(x\right)$

$u=\ln \left(x\right)\quad \:du=\frac{1}{x}dx$

$=\int \frac{1}{u}du$

$\mathrm{Substitute:}\:u=\ln \left(x\right)$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$

$\Rightarrow \:du=\frac{1}{x}dx$

$\Rightarrow \:dx=xdu$

$=\int \frac{1}{xu}xdu$

$=\int \frac{1}{u}du$

$\mathrm{Use\:the\:common\:integral}:\quad \int \:\frac{1}{u}du=\ln \left(\left|u\right|\right)$

$\mathrm{Substitute\:back}\:u=\ln \left(x\right)$

$=\ln \left|\ln \left(x\right)\right|$

$Add\:a\:constant\:to\:the\:solution$

$=\ln \left|\ln \left(x\right)\right|+C$

$\mathrm{Compute\:the\:boundaries}:\quad \int _0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{x\ln \left(x\right)}dx=\ln \left(\ln \left(2\right)\right)-\infty \:$

$\int _a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\lim _{x\to \:b-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:a+}\left(F\left(x\right)\right)$

$\lim _{x\to \:0+}\left(\ln \left|\ln \left(x\right)\right|\right)=\infty $

$\lim _{x\to \frac{1}{2}-}\left(\ln \left|\ln \left(x\right)\right|\right)=\ln \left(\ln \left(2\right)\right)$

$=\ln \left(\ln \left(2\right)\right)-\infty $

$=-\infty \:$

$\text{Since infinity is not a real number, so given integral not convergent.}$

Answer 3

Tu pregunta ya ha sido respondida, pero supongo que tengo pistas útiles para ti, que te permitirán decir si una serie/integral converge o no para muchas series.

1. Pista: Prueba de condensación de Cauchy: Es $(a_n)_n \subseteq [0,\infty)$ una secuencia monótona decreciente, entonces $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge si $\sum_{k=0}^\infty 2^ka_{2^k}$ converge.

2. Sugerencia: Prueba integral de convergencia: ya lo sabes.

3. Pista: la serie de Abel Por cada $i \in \mathbb{N}$ las siguientes series $$ \sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)\ln(\ln(n))\cdots(\ln^{[i]}(n))^s}$$

(absolutamente) converge si $s > 1,$ para $k$ suficientemente grande, donde $\ln^{[1]}(n) \colon\!= \ln(n), \ln^{[2]}(n) \colon\!= $ $\ln(\ln(n)), \ln^{[3]}(n) \colon\!= $ $\ln(\ln(\ln(n)))...$ . Eso se puede demostrar con los criterios que he mencionado antes.