Conjetura de Artin para representaciones de grado 1

Question

El Artín $L$ -para extensiones abelianas coinciden con las de Hecke. $L$ -lo que implica, en particular, que si $E/K$ es una extensión abeliana, y $\chi$ es un carácter simple no trivial de $\textrm{Gal}(E/K)$ entonces $L(E/K,\chi,s)$ admite una continuación analítica holomorfa en $\mathbb{C}$ . Esto demuestra la conjetura de Artin para extensiones abelianas.

Se dice que esto resuelve la conjetura de Artin para todas las representaciones de grado 1. ¿Pero cómo?

Digamos que tenemos $\textrm{Gal}(E/K) \cong S_3$ . ¿Cómo implica el hecho anterior que $L(E/K,\chi,s)$ es entero para cualquier carácter simple de grado 1 no trivial $\chi$ ?

Toda ayuda o aportación será muy apreciada.

Answer 1

Sea $G=\textrm{Gal}(E/K)$

Por la propiedad universal de la abelianización, $\chi:G \to \Bbb C^\times$ factores sobre $G^{ab}$ por lo que obtenemos $\overline{\chi}:\textrm{Gal}(L/K) \to \Bbb C^\times$ donde $L=E^{[G,G]}$ . Ahora $L/K$ es abeliano y $\chi$ es el inflación de $\overline{\chi}$ por lo que por functorialidad de las funciones L de Artin con respecto a las inflaciones tenemos $$L(E/K,\chi,s)=L(L/K,\overline{\chi},s)$$