Distancia entre el producto de las distribuciones marginales y la distribución conjunta

Question

Dada una distribución conjunta $P(A,B,C)$ podemos calcular varias distribuciones marginales. Ahora supongamos: \begin{align} P1(A,B,C) &= P(A) P(B) P(C) \\ P2(A,B,C) &= P(A,B) P(C) \\ P3(A,B,C) &= P(A,B,C) \end{align} ¿Es cierto que $d(P1,P3) \geq d(P2,P3)$ donde d es la distancia de variación total?

En otras palabras, ¿es demostrable que $P(A,B) P(C)$ es una mejor aproximación de $P(A,B,C)$ que $P(A) P(B) P(C)$ en términos de distancia de variación total? Intuitivamente creo que es cierto pero no he podido encontrar una prueba.

Answer 1

Acabo de encontrar el siguiente contraejemplo. Supongamos que $A,B,C$ son variables discretas. $A,B$ pueden tomar dos valores cada uno, mientras que $C$ puede tomar tres valores. La distribución conjunta $P(A,B,C)$ es:

\begin{array}{cccc} A & B & C & P(A,B,C) \\ 1 & 1 & 1 & 0.1/3 \\ 1 & 1 & 2 & 0.25/3 \\ 1 & 1 & 3 & 0.25/3 \\ 1 & 2 & 1 & 0.4/3 \\ 1 & 2 & 2 & 0.25/3 \\ 1 & 2 & 3 & 0.25/3 \\ 2 & 1 & 1 & 0.4/3 \\ 2 & 1 & 2 & 0.25/3 \\ 2 & 1 & 3 & 0.25/3 \\ 2 & 2 & 1 & 0.1/3 \\ 2 & 2 & 2 & 0.25/3 \\ 2 & 2 & 3 & 0.25/3 \\ \end{array}

Así que la distribución marginal $P(A,B)$ es: \begin{array}{ccc} A & B & P(A,B) \\ 1 & 1 & 0.2 \\ 1 & 2 & 0.3 \\ 2 & 1 & 0.3 \\ 2 & 2 & 0.2 \\ \end{array}

Las distribuciones marginales $P(A), P(B)$ y $P(C)$ son uniformes.

Así que podemos calcularlo: \begin{align} d(P1,P3) &= 0.1 \\ d(P2,P3) &= 0.4/3 \end{align}