Sea $(a_n)$ sea una sucesión no creciente de números reales positivos y $\Sigma a_n$ converge. ¿Es cierto que $\lim_{n \to \infty}n a_n=0$ ?

Question

Es cierto con las series p convergentes y las series geométricas. Si es cierto, ¿cómo lo establecemos? Tenga en cuenta que la convergencia de la serie es crucial, por ejemplo, considere la serie armónica.

Answer 1

Como la serie es convergente, entonces

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n+1}^{2n}a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n+1}^{2n+1}a_k=0$$ y puesto que $(a_n)$ es no creciente y positivo: $$\sum_{k=n+1}^{2n}a_k\ge \frac12(2na_{2n})\ge0$$ y

$$\sum_{k=n+1}^{2n+1}a_k\ge \frac{n+1}{2n+1}((2n+1)a_{2n+1})\ge0$$ de ahí que por el teorema de squeeze veamos que $$na_n\xrightarrow{n\to\infty}0$$

Answer 2

Sí. Sugerencia: Considere la prueba de condensación de Cauchy.

Answer 3

¿no aumenta o disminuye? Puesto que $\sum a_n$ converge, para cada $\epsilon>0$ existe un $N$ s.t. para cualquier $n>N$ tenemos $$a_{[\frac{n}{2}]}+a_{[\frac{n}{2}]+1}+\cdots+a_{n}<\epsilon.$$ En $a_n$ es no creciente (decreciente), resulta que $$(n+1-[\frac{n}{2}])a_n<\epsilon.$$ Ahora es fácil ver $\lim na_n=0$ .