Demuestra que $\lim\limits_{n \to \infty} \int_{1}^{n} f$ existe mientras $f$ no es integrable en $[1,\infty)$ .
Defina $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ para $1 \leq x <\infty$ .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
$\def\limn{\lim_{n\to\infty}}$ Por integración parcial tenemos \begin{align*} \limn\int_1^n \frac{\sin x}x \,dx &= \limn \left(\left.-\frac{\cos x}x\right|_1^n - \int_1^n \frac{\cos x}{x^2}\, dx\right)\\ &= \cos 1 - \int_1^\infty \frac{\cos x}{x^2}\, dx \end{align*} donde esta última integral converge como se puede ver por comparación con $\int_1^\infty x^{-2}\, dx$ .
Para la no integrabilidad, obsérvese que se tiene $$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin x|}x \, dx\ge \frac 1{(n+1)\pi}\int_0^{\pi}|\sin x|\, dx = \frac 2{(n+1)\pi} $$ y por lo tanto $$ \int_1^\infty \frac{|\sin x|}x\, dx \ge \sum_{n=1}^\infty \frac 2{(n+1)\pi} = \infty. $$
Mhenni Benghorbal
Puntos
1
Recordando la integral seno
$$ Si(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin(x)}{x}dx ,$$
entonces podemos escribir nuestra integral como
$$ \lim_{n \to \infty} Si(n) = \frac{\pi}{2} . $$
Consulta el enlace siguiente para ver que la integral converge. Por supuesto, existen varias técnicas para evaluar la integral anterior. Por otra parte, es un hecho bien conocido que la integral
$$ \int_{0}^{\infty} \left|\frac{\sin(x)}{x}\right| dx $$ no converge . Entonces por el teorema "Una función $f$ es integrable en Lebesgue si y sólo si $|f|$ es", se puede demostrar directamente que $\frac{\sin(x)}{x}$ no es integrable en Lebesgue.
