¿Es la longitud de Planck invariante de Lorentz?

Question

La longitud de Planck se define como $l_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$ . Así que es una combinación de las constantes $c, h, G$ que creo que son todas invariantes de Lorentz. Así que creo que la longitud de Planck también debería ser una invariante de Lorentz. Pero parece que hay cierta confusión al respecto, véase por ejemplo el siguiente artículo Magueijo 2001: invariancia de Lorentz con una escala de energía invariante :

La combinación de gravedad $G$ , cuántico $h$ y relatividad $c$ g a la longitud de Planck, $l_p$ o su inversa, la energía de Planck $E_p$ . Estas escalas marcan umbrales más allá de los cuales la antigua descripción del espaciotiempo se rompe y aparecen fenómenos cualitativamente nuevos. ... Esto plantea inmediatamente una pregunta sencilla: ¿en qué referencia $l_P$ y $E_P$ t nuevos fenómenos?

Pero si $l_P$ es una invariante de Lorentz, de eso no hay duda. $l_P$ es la misma en todos los sistemas de referencia. Otra cuestión confusa es que la masa de Planck (de la que se deriva la longitud de Planck) a menudo se obtiene igualando la longitud de Compton $\lambda_C = \frac{h}{m_0 c}$ ( una 4-longitud invariante de Lorentz) y la longitud de Schwarzschild $r_{s} = \frac{2Gm}{c^2}$ (que creo que no es una invariante de Lorentz, ya que en la derivación de la métrica de Schwarzschild se supone que es una 3-longitud, que mide una distancia espacial). Pero como la longitud de onda de Compton y el radio de Schwarzschild no son longitudes del mismo tipo creo que tal derivación no es válida. Así que mi pregunta es

¿Es la longitud de Planck una invariante de Lorentz y, en caso afirmativo, cómo deducirla sin utilizar la longitud de onda de Compton y el radio de Schwarzschild?

Answer 1

Una posible respuesta a la última parte de la pregunta: el artículo Seis caminos fáciles hacia la escala de Planck Adler, Am. J. Phys., 78, 925 (2010) contiene múltiples "derivaciones" que podrías (o no) encontrar más satisfactorias que la que mencionas.

En cuanto al resto de la pregunta, otros han hecho las observaciones más pertinentes. Creo que un buen resumen de lo que Magueijo quiere decir es algo como lo siguiente:

Con frecuencia se oye decir que la "nueva física interesante" se produce cuando alguna longitud $l$ es menor que la longitud de Planck. La longitud de Planck es manifiestamente invariante de Lorentz. La otra longitud $l$ si es la longitud física de algún objeto, es evidente que no es invariante de Lorentz. Entonces, ¿qué significado se puede asignar a tales afirmaciones?

Me parece que las personas razonables pueden discrepar sobre si se trata de una cuestión interesante. A mí no me parece una locura manifiesta.

Answer 2

No sé si alguien sigue viendo este hilo, pero en cualquier caso, el artículo de 2001 al que se refiere el OP describe una idea llamada relatividad doblemente especial (DSR). Hay un artículo de WP al respecto, que ofrece una visión más actual. Básicamente, mi impresión es que la DSR no funcionó bien, y nadie, incluidos Magueijo y Smolin, trabaja ya realmente en ella.

Para una respuesta a esta pregunta en el contexto de la gravedad cuántica de bucles, véase Rovelli y Speziale, "Reconcile Planck-scale discreteness and the Lorentz-Fitzgerald contraction," http://arxiv.org/abs/gr-qc/0205108 .

El candidato formuló la pregunta de forma un tanto ingenua, pero eso no significa que la cuestión sea trivial. En SR, tenemos una constante llamada c. Es constante por definición. Pero eso no significa que sea una afirmación trivial que cuando un observador ve que una partícula tiene una velocidad igual a c, ese hecho pueda ser invariante de Lorentz.

Answer 3

Para responder a esta pregunta habría que definir primero la escala de Planck de forma operativa, es decir, definir cómo la medirían los distintos observadores de Lorentz en experimentos (quizás pensados).

Normalmente se define acoplamiento constantes en términos de experimentos locales (cuasi) estáticos que cada observador puede realizar en su marco de reposo. Así, G, por ejemplo, se mide en tales experimentos y, por tanto, es, por definición, invariante de Lorentz, a pesar de ser una cantidad adimensional.

c, por otro lado, claramente no se puede medir de esa manera, pero no es una constante de acoplamiento, sino una escala dimensional independiente del observador que se utiliza para definir lo que son las transformaciones de Lorentz (las transformaciones de Lorentz son tales transformaciones lineales del espaciotiempo que permiten la presencia de una escala de velocidad invariante c).

Answer 4

Un escalar es invariante si tiene el mismo valor cuando se mide desde cualquier marco de referencia: la velocidad de la luz c es el escalar invariante más famoso.

Un escalar es una constante física universal cuando sirve como constante de proporcionalidad en una fórmula física---por ejemplo, Gn, la constante gravitacional de Newton, es la conocida constante de proporcionalidad en la ecuación de la fuerza de atracción gravitacional de Newton entre dos masas M1 y M2 separadas por una distancia R.

Si Gn se mide en el sistema de referencia en reposo, M1, M2 y R tienen ciertos valores "en reposo" a veces llamados valores propios y obtenemos un cierto valor "en reposo" para Gn Sin embargo, si medimos Gn desde un sistema de referencia en movimiento, entonces M1 y M2 tienen que multiplicarse por la "gamma" relativista y R*. 2 debe dividirse por "gamma" *2, lo que significa que debe añadirse un factor "gamma "**4 (cuarta potencia) a la parte derecha de la ecuación en comparación con la ecuación "resto".

Por lo tanto, es obvio que el nuevo Gn medido desde un marco en movimiento no es necesariamente igual al valor Gn "en reposo".

Esto significa que Gn (o abreviado G) no es necesariamente invariante en el sentido antes mencionado La cuestión de la constante de Planck (E=hv) es más interesante. Einstein, en su primer famoso trabajo sobre la relatividad "la electrodinámica de los cuerpos en movimiento..." demuestra que h ¡¡¡ES INVARIANTE!!!

Si lo ponemos todo junto, no es obvio que lp (la longitud de planck) sea invariante de Lorenz (o, en pocas palabras, invariante).

No hay ninguna razón por la que lp deba ser la longitud mínima en física.

Es fácil demostrar que los valores extremos de cualquier magnitud física (mínimo o máximo) son invariantes y viceversa.

Answer 5

Cuando es transversal, es invariante de Lorentz. Cuando es longitudinal - no lo es ;-).