Dada la siguiente función ¿cuántas soluciones de $f(x)=0$ ¿están ahí?

Question

Tengo la siguiente función:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$f(x)=9^x-5^x-4^x$

Y tengo que encontrar el número de real soluciones (no necesariamente las soluciones en sí, sino cuántas hay) para $f(x)=0$ y $f(x)-2 \sqrt{20^x}=0$ .

Para $f(x)=0$ esto es lo que hice:

$9^x-5^x-4^x=0$

He dividido por $9^x$ ,

$1- \bigg (\dfrac{5}{9} \bigg)^x - \bigg (\dfrac{4}{9} \bigg)^x = 0$

$\bigg (\dfrac{5}{9} \bigg)^x + \bigg (\dfrac{4}{9} \bigg)^x = 1$

Dado que el lado izquierdo es la suma de dos estrictamente decreciente funciones, conculqué que el lado izquierdo es estrictamente decreciente ( $1$ ). Así que la ecuación puede tener como máximo $1$ solución. Por pura conjetura, encontré que $x=1$ es una solución de la ecuación y debido a ( $1$ ) es la única solución. Así que.., $f(x)=0$ sólo tiene una solución ( $x=1$ para ser precisos, pero no es necesario). I piense en Yo lo he hecho bien, pero si alguien encuentra un error, por favor, que me lo comunique.

Mi verdadero problema está en la segunda parte del problema, donde tengo que encontrar el número de soluciones para:

$9^x-5^x-4^x - 2 \sqrt{20^x} = 0$

No veo cómo debería enfocar esto. Agradeceré cualquier ayuda.

Answer 1

Sí, lo tenemos.

$$f(x)=9^x-5^x-4^x=0 \iff \left(\frac49\right)^x+\left(\frac59\right)^x=1$$

y puesto que

$$ g(x)=\left(\frac49\right)^x+\left(\frac59\right)^x\implies g'(x)=-\left(\frac49\right)^x\log \left(\frac94\right)-\left(\frac95\right)^x\log \left(\frac95\right)<0$$

$f(x)$ es estrictamente decreciente y

• $\lim_{x\to \infty} f(x)=0$
• $\lim_{x\to -\infty} f(x)=\infty$

por IVT tenemos exactamente una solución para $f(x)=1$ .

Para la segunda ecuación podemos utilizar que $$f(x)=9^x-5^x-4^x - 2 \sqrt{20^x}=(3^x)^2-((\sqrt 5)^x+(\sqrt 4)^x)^2=\\=(3^x+2^x+(\sqrt 5)^x)(3^x-2^x-(\sqrt 5)^x)=0$$

es decir $3^x-2^x-(\sqrt 5)^x=0$ que pueden estudiarse del mismo modo.