Demuestra que esta función es creciente

Question

Sea $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}_+$ con $g(0) = 0$ .

Empecemos por suponer que existen constantes positivas $\Gamma_-\leq 1 \leq \Gamma_+$ tal que

$$\Gamma_- \leq g(k)-g(k-1)\leq \Gamma_+.$$

Para $\phi \in \mathbb{R_+}$ consideremos una variable aleatoria $X_\phi$ que asume valores naturales con la siguiente distribución

$$ \mathbb{P}( X_\phi =k) = \frac{1}{Z(\phi)}\frac{\phi^k}{g(k)!} \text{, for all } k \in \mathbb{N}, $$

donde $g(k)!=g(k)g(k-1)\cdot \cdot \cdot g(1)$ , $g(0)!=1$ y $Z(\phi)$ es una constante normalizadora: \begin{equation} Z(\phi)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\phi^k}{g(k)!}. \end{equation}

Mi problema es demostrar que la expectativa de esta variable aleatoria es una función creciente de $\phi$ .

Denotando esta expectativa por $R$ un simple cálculo muestra que:

$$R(\phi)= \frac{1}{Z(\phi)}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k\phi^k}{g(k)!} = \phi \frac{Z^\prime(\phi)}{Z(\phi)}.$$

Obtuve esta expresión, pero no pude comparar los valores de $Z$ , $Z'$ y $Z''$ . ¿Alguien tiene una idea diferente?

Answer 1

¡Realmente tienes la respuesta!

1. $Z(\phi)$ está aumentando en $\phi$ por lo tanto también lo es $\ln Z(\phi)$ .

2. $ \frac{d}{d\phi} \ln Z(\phi) = \frac{Z'(\phi)}{Z(\phi)}= \frac{1}{Z(\phi)}\sum_{k=0}^\infty \frac{k \phi^{k-1}}{g(k)!}$ .

3. $\;\Rightarrow E[ X_\phi] = \phi \frac{d \ln Z(\phi)}{d \phi}$ producto de funciones crecientes no negativas, por lo tanto crecientes.