Estoy tratando de entender la derivación de la expresión de coordenadas para el operador de Laplace-Beltrami (wiki aquí ). La página de Wikipedia dice que $\nabla\cdot X$ es un operador que asigna una función a una función. Esto significa que $\text{vol}_n=\sqrt{\vert g\vert}dx^{1}\wedge\dots\wedge dx^n$ es una función sobre el colector. ¿Cómo se define esta función?
Respuesta
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$\DeclareMathOperator{\Vol}{vol}$ En la página que enlazas, $\Vol_{n}$ no es una función, sino una forma diferencial no evanescente de grado superior, $n$ .
La derivada de Lie $L_{X}(\Vol_{n})$ de la forma de volumen con respecto al campo vectorial $X$ es también una forma de grado superior, por lo tanto una función escalar múltiplo de $\Vol{n}$ . (En cada punto de un $n$ -el espacio de $n$ -formas es unidimensional). Esta función escalar es definido para ser la divergencia $\nabla \cdot X$ de $X$ es decir, $$ (\nabla \cdot X) \Vol_{n} = L_{X}(\Vol_{n}). $$
