Número de maneras de ordenar 4 barajas idénticas

Question

Supongamos que tenemos 4 barajas de cartas idénticas, y cada una tiene 10 cartas (por lo tanto tenemos 4 unidades de la primera carta, 4 unidades de la segunda carta y así sucesivamente). ¿De cuántas formas podemos disponer estas 40 cartas?

Creo que el resultado es el siguiente: $$\begin{pmatrix} 40 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 36 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 32 \\ 4 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ 4,4,4,\ldots,4 \end{pmatrix}= \frac{40!}{(4!)^{10}}$$ ¿Es correcto?

Answer 1

Tu solución es correcta (y el método que has elegido para llegar a ella también es muy lógico). He aquí un método alternativo:

Digamos que necesita organizar $p$ y $q$ de esos objetos son idénticos, mientras que los otros $p-q$ objetos son todos diferentes entre sí. El número de combinaciones es

$$ \frac{p!}{q!} $$

Para que las cosas sean más concretas y claras, he aquí un ejemplo. Hay que poner $5$ formas de cartón en una estantería. Consideremos el caso en el que todos $5$ de las formas son diferentes entre sí:

Aquí tienes $5$ opciones para el primer lugar de la estantería; entonces, cuando haya colocado una forma en la estantería, tendrá $4$ opciones a la izquierda para el segundo lugar en el estante. Esta es la razón de ser de los factoriales: nos permiten denotar de forma concisa $n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$ . Ahora que ya nos hemos quitado de encima lo más básico, consideremos el caso en el que $2$ o más de los objetos son idénticos: digamos, $3$ triángulos, $1$ cuadrado, y $1$ pentágono. Sin ninguna forma que coincida, el número de disposiciones posibles sería igual a $5!=120$ . Sin embargo, al tener $3$ triángulos idénticos, tenemos que dividir por $3!$ para obtener $20$ posibles acuerdos. Para explicar por qué, imaginemos que enumeramos todos $120$ combinaciones posibles (ignorando por ahora los duplicados). Denotemos los elementos de nuestra lista como $\{t_1, t_2, t_3, s, p\}$ . $t_1$ y $t_2$ en realidad parecen iguales, pero imaginemos que llevamos la cuenta de dónde están. Si enumeráramos todas las disposiciones posibles, la lista podría parecerse un poco a esto:

$$ \{t_1, t_2, t_3, s, p\} \\ \{t_1, t_3, t_2, s, p\} \\ \{t_2, t_1, t_3, s, p\} \\ \{t_2, t_3, t_1, s, p\} \\ \{t_3, t_1, t_2, s, p\} \\ \{t_3, t_2, t_1, s, p\} \\ \dots $$

Como puede ver, una sola combinación tiene $6$ diferentes "formas". Para contar el número de duplicados, una vez más podemos utilizar factoriales. Hay $3$ elegir qué triángulo usamos primero, y luego $2$ opciones, entonces $1$ elección. Por lo tanto, dividimos por $3!$ que es igual a $6$ .

Por lo tanto, el $q!$ en el $\frac{p!}{q!}$ elimina los duplicados. Las cosas se complican un poco más cuando se considera algo como $4$ cuadrados idénticos, $5$ pentágonos idénticos, y $7$ heptágonos idénticos, pero se aplica la misma regla. Dividimos por $(4! \times 5! \times 7!)$ porque para cada forma, hay duplicados que tenemos que eliminar. Prueba a enumerar las combinaciones de la forma que hemos hecho antes si sigue sin tener sentido.

Por cierto, así es como llegamos a la $\binom{n}{r}$ fórmula. Digamos que hay $n$ formas que hay que ordenar: $r$ círculos y $n-r$ La fórmula es

$$ \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

Por último, llegamos a su pregunta. Aquí hay $10$ grupos de $4$ objetos. En cada grupo, todos los objetos son idénticos. Por lo tanto, su respuesta se puede encontrar más directamente utilizando

$$ \frac{40!}{4!\times4!\times4!\times4!\dots\times4!}=\frac{40!}{(4!)^{10}} $$

Si tiene alguna duda sobre el funcionamiento de estas fórmulas, no dude en preguntar.