Dado $f$ es estrictamente creciente, es $f$ ¿con límites?

Question

Sea $f \in C^1(\Bbb{R})$ tal que $f'(x)>0$ siempre con $\lim_{x\to \infty} f'(x)=0$ entonces es $f$ ¿Acotado por arriba?

Probé muchas funciones pero no pude encontrar ningún contador, todo parece ser satisfactorio, no estoy seguro si la afirmación es cierta o no.

Answer 1

No, considéralo,

$$f(x) = \begin{cases}x-1 & x\leq 1,\\ \log x & x>1 \end{cases}$$

Answer 2

He aquí un contraejemplo sin necesidad de dividir en casos: $$ f(x) = \ln(\ln(1+e^x)) . $$

Answer 3

Pruebe $\tanh(x)$ cumple todas tus suposiciones.

\editar Esto es un copunterexample: $f(x)=\sqrt{x}$ para $x\ge1$ y $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$ para $x\le 1$