Principio de invariancia Pregunta

Question

Un círculo se divide en seis sectores. A continuación, los números $1, 0, 1, 0, 0, 0$ se escriben en los sectores (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo). Puede aumentar dos números vecinos en $1$ . ¿Es posible igualar todos los números mediante una secuencia de pasos de este tipo?

Así que.., $a_1 = 1, a_2 = 0, a_3 = 1, a_{4, 5, 6} = 0$ .

La invariante que encuentran es:

$$S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5 - a_6 = 2$$

Si aumenta $a_k$ por $1$ entonces sí:

$a_{2, 4, 5, 6} = 1, a_{1, 3} = 2$

$$S = 2$$ Todavía.

Luego dice, la meta, $S = 0$ no se puede contactar.

¿Cómo resuelve eso el problema?

$$S=0 \implies a_1 + a_3 + a_5 = a_2 + a_4 + a_6$$

¿Cómo hace eso algo?

Answer 1

Tu objetivo es que los seis números sean iguales, es decir. $$a_1 = a_3 = a_5 = a_2 = a_4 = a_6$$ lo que implicaría $$a_1 + a_3 + a_5 = a_2 + a_4 + a_6$$ y así $$S=0$$ que sabemos que es imposible desde el punto de partida como $S$ es una constante $2$ en virtud del cambio permitido.

El argumento en palabras es que si la suma de los valores en las posiciones pares y la suma de los valores en las posiciones impar empiezan siendo diferentes, y todo lo que puedes hacer es añadir los mismos números a impar y a las posiciones pares, entonces las sumas seguirán siendo diferentes, y por lo tanto los valores individuales no pueden hacerse todos iguales.

Answer 2

$1,2,3,4,5,6$ son los nombres de los sectores en sentido antihorario que tienen $(1,0,1,0,0,0)$ inicialmente. Supongamos que el número de adición en $(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)$ y $(6,1)$ son $a,b,c,d,e$ y $f$ respectivamente.

Si todos los números son iguales, entonces $$a+f+1 = a+b = b+c+1 = d+c = d+e = e+f$$

lo que significa $$a = c+1 , b = f+1, c = e , d = f , b+1 = d$$ expresamos $b$ en términos de $d$ obtenemos $$b =f+1 = d+1$$ y también tenemos $$b+1 = d$$ de ahí
$$(d+1) + 1 =d$$ $$d+2 =d$$ lo cual no es posible.

por lo que no es posible igualar todos los números mediante una secuencia de pasos de este tipo.

Answer 3

No veo cómo $a_1a_2+a_3a_4+a_5a_6$ es un invariante. Además, creo que he encontrado una manera de igualar los sectores. Es como sigue:

$(1, 0, 1, 0, 0, 0) \rightarrow (1, 1, 1, 0, 0, 1) \rightarrow (2, 1, 1, 0, 1, 1) \rightarrow (2, 2, 1, 1, 1, 1)\rightarrow (2, 2, 1, 2, 1, 2) \rightarrow (2, 2, 2, 2, 2, 2)$

Donde las tuplas de números son los valores de los sectores circulares escritos en sentido contrario a las agujas del reloj. Aunque es posible que no esté entendiendo bien el problema.