Valor esperado de funciones estadísticas de orden

Question

Sea $F$ sea una FCD sobre $[\underline{y},\bar{y}]$ y $g(\cdot)$ es una función estrictamente creciente. Sé que la siguiente tiene al menos una solución. $$\begin{equation} 2F(y)\int_{\underline{y}}^{y}g(x)\frac{dF(x)}{F(y)}=\int_{\underline{y}}^{y}g(x)\frac{dF(x)^2}{F(y)^2}\end{equation}$$ ¿Podemos garantizar que la solución es única? (Supongamos $g(\underline{y})>0$ )

Answer 1

La solución no es única, en general. basta con tomar $F$ para ser uniforme en $[0,1]$ . Escribe la ecuación como $$h(y)=f(y)-g(y)$$

La segunda derivada de $h$ debe ser estrictamente positivo o negativo para garantizar la unicidad. Sin embargo, se obtiene (para $\int xdx^2$ , tuve $dx^2=dy$ , $x=\sqrt{y}$ )

$$h(y)=(3/2)y^5-y^{3/2}-(3/2)y^2c^3+c^{3/2}$$ y $$h^{''}(y;c)=30y^3-(3/4)y^{-1/2}-3c^3$$

Desde $c=0$ porque $F$ es uniforme en $[0,1]$ tenemos $$h^{''}(y)=30y^3-(3/4)y^{-1/2}$$ que no es ni positivo ni negativo para todos $y$ .

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot+30x%5E3-(3%2F4)x%5E(-1%2F2)++from+0+to+0.5