¿Cómo se cuentan los grados de libertad?

Question

Esta pregunta resultó, más bien como subproducto, la discusión sobre cómo contar los grados de libertad (DOF). Amplío aquí esta cuestión:

• Son necesarios 1 derivadas como las velocidades contadas como DOF individuales o junto con la coordenada respectiva 2 ?
• ¿Los DOF de valor complejo deben contarse dos veces como "dos DOF de valor real" o una vez como "un DOF de valor complejo"? (Quiero decir, cuando uno no quiere especificarlo explícitamente)

Por favor, responda con alguna referencia, a menos que resulte que en realidad se trata de una cuestión de gustos y no de algo estrictamente definido.

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1) Me refiero a aquellos cuyo valor es obligatorio como condición inicial
2) Yo también considero los campos en QFT como coordenadas, mientras que las coordenadas espacio-tiempo son parámetros para mí, si eso importa. Sé que un campo en realidad tiene $\infty$ (o mejor dicho, $2^\aleph$ ) DOF en sí, pero digamos por ejemplo "un $\mathbb R^3$ DOF continuo" en ese caso

Answer 1

TL;DR: En la mecánica puntual clásica, los grados de libertad (en la cáscara) $^1$ (DOF) son el número de condiciones iniciales necesarias dividido por 2.

Quizá sea más sencillo explicarlo con un ejemplo: Una gravedad simple 1D péndulo con el Lagrangiano $$L(\theta,\dot{\theta}) = \frac{m}{2}\ell^2 \dot{\theta}^2 + mg\ell\cos(\theta)$$ tiene un DOF, $\theta$ aunque su solución $\theta=\theta(t)$ tiene dos constantes de integración. Aquí, las coordenada generalizada $\theta$ es el ángulo del péndulo; $\dot{\theta}$ es la velocidad (angular); y $p_{\theta}:=\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=m\ell^2\dot{\theta}$ es el momento (angular). Además, el espacio de configuración $M\cong\mathbb{S}^1$ es un dimensional con un coordenadas $\theta$ . El haz tangente $TM$ del espacio de configuración con dos coordenadas $(\theta,\dot{\theta})$ y el espacio de fase $T^*M$ con dos coordenadas $(\theta,p_{\theta})$ son ambos dos espacios dimensionales. En otras palabras, se necesita dos coordenadas para describir completamente el estado instantáneo del péndulo en un instante dado $t$ es decir dos condiciones iniciales.

Así que, para responder a la pregunta principal: No, la velocidad correspondiente (o momento en la formulación hamiltoniana) no se cuenta como un DOF independiente.

Para generalizaciones a la teoría de campos y gauge, véase, por ejemplo. este Correo de Phys.SE.

Referencias:

1. Landau & Lifshitz, Mecánica : véase, por ejemplo, la primera página del capítulo 1 o primera página del capítulo 2;
2. H. Goldstein, Mecánica clásica Véase, por ejemplo, la página 13 o la primera página del capítulo 8, tanto en la 2ª como en la 3ª edición;
3. J.V. Jose y E.J. Saletan, Dinámica clásica: Un enfoque contemporáneo Véase p. 18;
4. Wikipedia aquí o aquí .

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$^1$ Excepción: En el contexto de la teorema de equipartición el DOF es convencionalmente el número de variables del espacio de fase que aparecen cuadráticamente en el Hamiltoniano.