Cubo Tychonoff $I^{m}$

Question

Diferentes referencias tienen diferentes definiciones para el cubo de Tychonoff. Por ejemplo;

• R. Engelking, Topología general : El cubo de peso de Tychonoff $m\geq\aleph_{o}$ es el espacio $I^{m}$ es decir, el producto cartesiano $\prod\nolimits_{s \in S} {{I_s}}$ donde $I_{s}=I$ para cada $s\in S$ y $|S|= m$ .

• K. Rao, Topología : Sea $\mathbb{R}$ tienen la topología habitual y $I$ sea el intervalo unitario cerrado $[0,1]$ tienen la topología relativa de un subespacio de $\mathbb{R}$ . Sea $X$ sea un espacio topológico y $F$ sea la familia de todas las funciones continuas de $X$ a $I$ . Sea $I^{F}=I\times I\times I\times \ldots$ donde el número de factores es igual a la cardinalidad de $F$ . $I^{F}$ se llama cubo de Tychonoff.

Con ambas definiciones se puede demostrar que El cubo de Tychonoff es universal para todos los espacios de Tychonoff, pero ¿Son equivalentes estas dos definiciones?

Gracias.

Answer 1

Sí, lo son. De hecho, son exactamente iguales. Un producto cartesiano $\prod_{s \in S} X_s$ no es más que el conjunto de funciones $f$ del conjunto de índices $S$ a $\cup_{s \in S} X_s$ tal que $f(s) \in X_s$ para todos $s \in S$ . Así pues, tanto Rao como Engelking describen exactamente el mismo conjunto: todas las funciones de algún conjunto índice (ya sea $S$ o $F$ ; sólo importa la cardinalidad, topológicamente) a $I$ también denominado $I^S$ en la topología del producto, que es por definición la topología más pequeña tal que todas las proyecciones $\pi_t: \prod_{s \in S} X_s \rightarrow X_t$ (para $t \in S$ ), definido por $\pi_t(f) = f(t)$ son continuos.

El hecho de que Rao elija $F$ en concreto (es a su vez un conjunto de funciones) es irrelevante. De hecho, cualquier conjunto $I^S$ lo que sea $S$ se llama cubo de Tychonoff. Es un ejercicio fácil ver que cuando $S$ y $T$ tienen la misma cardinalidad, $I^S$ es homeomorfo a $I^T$ Así que, como dije antes, sólo el tamaño importa topológicamente.

Answer 2

Como dijo Henno Brandsma, el cubo de Tychonoff sólo depende de la cardinalidad del conjunto índice, a saber, el conjunto $S$ en la definición de Engelking y $F$ en el comentario de Rao. Sin embargo, existe esta diferencia: Engelking permite $S$ para tener cualquier cardinalidad infinita que quieras. En el texto que citaste de Rao, $F$ es el conjunto de funciones continuas de algún espacio $X$ al intervalo $I$ y su cardinalidad no es arbitraria. Por ejemplo, no puede ser contablemente infinita.

No creo que Rao pretendiera que el texto que citas fuera una definición de la terminología "cubo de Tychonoff"; es decir, no creo que pretendiera restringirse a los conjuntos de índices especiales $F$ y sus cardenales especiales. Creo que sólo comentaba que el espacio que utiliza es uno de los llamados cubos de Tychonoff, no que sean los más generales. (Por eso, en la primera frase de esta respuesta, escribí "comentario de Rao", no "deifnición de Rao").