$n \times n$ matrices galore.

Question

El grupo de $n \times n$ invertible matrices con entradas en $\mathbb{R}$ es denotado $\text{GL}_n(\mathbb{R})$. Del mismo modo, $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ denota el grupo de $n \times n$ invertible matrices con entradas complejas. Considere los siguientes conjuntos de matrices:

• $\text{SL}_n(\mathbb{R}) = \{M \in \text{GL}_n(\mathbb{R}) : \det(M) = 1\}$;
• $\text{SL}_n(\mathbb{C}) = \{M \in \text{GL}_n(\mathbb{C}) : \det(M) = 1\}$;
• $\text{O}_n(\mathbb{R}) = \{M \in \text{GL}_n(\mathbb{R}) : MM^\text{T} = M^\text{T}M = I_n\}$;
• $\text{SO}_n(\mathbb{R}) = \{M \in \text{O}_n(\mathbb{R}) : \det(M) = 1\}$;
• $\text{U}_n(\mathbb{C}) = \{M \in \text{GL}_n(\mathbb{C}) : MM^\dagger = M^\dagger M = I_n\}$;
• $\text{SU}_n(\mathbb{C}) = \{M \in \text{U}_n(\mathbb{C}) : \det(M) = 1\}$.

Aquí $I_n$ representa el $n \times n$ matriz identidad, $M^\text{T}$ es la transpuesta de $M$, $M^\dagger$ es la conjugada transpuesta de a $M$, e $\det(M)$ denota el determinante de a $M$. Encontrar todos los posibles inclusiones entre estos conjuntos, y demostrar que en cada caso el conjunto más pequeño es un subgrupo de la más grande.

Answer 1

La tabla de arriba tiene una marca de verificación cuando el elemento de fila es un subconjunto de el elemento de la columna. Verificación de la inclusión en un caso-por-caso. Para ejemplo, si $A\in SU_{n}\left(\mathbb{C}\right)$, entonces es en $U_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ por definición. Sin embargo, la matriz diagonal $A=\left(a_{ij}\right)$ con $a_{nn}=i$ $a_{kk}=1$ $k<n$ es claramente en $U_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ pero no en $SU_{n}\left(\mathbb{C}\right)$.

La comprobación de que cada uno es un grupo fácil. Usted puede utilizar el "one-step subgrupo de la prueba." $H\neq\emptyset$ es un subgrupo de $G$ fib siempre $x,y$ son elementos de $H$, $x^{-1}y$ es un elemento de $H$ (donde el grupo de operación está restringido a $H$). Hacer esto en un caso-por-caso base. Por ejemplo, si $A,B\in U_{n}\left(\mathbb{C}\right)$, $A^{\dagger}B\left(A^{\dagger}B\right)^{\dagger}=\left(A^{\dagger}B\right)^{\dagger}A^{\dagger}B=I_{n}$.