Función positiva con integral finita es finita casi con seguridad

Question

Sea $\displaystyle f:(X,\Sigma, \mu)\to (\bar{\mathbb R_+}, \mathcal B)$ sea una función medible no negativa que pueda asumir el valor $+\infty$ .

Supongamos que $\int f d\mu$ es finito. Demostrar que $\{x\in X, f(x)=+\infty\}$ tiene medida $0$ .

Aquí está mi prueba.

Sea $A=\{x\in X, f(x)=+\infty\}$ .

Supongamos por contradicción que $\mu(A)>0$ y que $M>0$ .

Entonces $f\geq 1_{A}M$ . Por lo tanto $\int f d\mu\geq M \mu(A)$

Dejar $M$ ir a $\infty$ produce una contradicción.

Como soy nuevo en la teoría de la medida, me gustaría saber si hay pruebas más cortas, diferentes o más convencionales.

Answer 1

Una prueba diferente: Por la desigualdad de Markov,

$$\mu(\{f \geq R\}) \leq \frac{\int f \, d\mu}{R}.$$

Por lo tanto, por la continuidad de la medida $\mu$ ,

$$\mu(\{f=\infty\}) = \lim_{R \to \infty} \mu(\{f \geq R\}) = 0.$$

---

Otra: Del Teorema de Tonelli no es difícil ver que

$$\int f \, d \mu = \int_{(0,\infty)} \mu(\{f \geq R\}) \, dR$$

para cualquier función (medible) no negativa $f$ . Dado que el lado izquierdo es finito y $R \mapsto \mu(\{f \geq R\})$ decreciente, esto implica

$$\lim_{R \to \infty} \mu(\{f \geq R\})=0;$$

por lo tanto, $\mu(\{f=\infty\})=0$ .