Demostrando que $L^2 = \bigcup \{f \in L^1[a,b]\mid \|f\|_1 \le n \}$

Question

Demostrando que $L^2 = \bigcup \{f \in L^1[a,b]\mid \|f\|_1 \le n \}$

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Una dirección es falsa, sólo es verdad que $$ L^2[a,b]\subseteq \bigcup_{n}B_n $$ la inclusión puede demostrarse por Cauchy-Schwarz (básicamente, acabamos de escribir $L^1[a,b]$ de forma enrevesada).

Para ver que es estricto, toma $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-a}}\in B_{\left\lceil 2\sqrt{b-a}\right\rceil }\subset \bigcup_n B_n$ pero, por supuesto $\frac{1}{\sqrt{x-a}}$ no es $L^2$ .