Producto interior: demostrar $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$

Question

Sea $\|\cdot\|$ sea una norma sobre un espacio vectorial $V$ y definir, para cada par ordenado de vectores, el escalar $d(x,y) = \|x-y\|$ llamada distancia entre $x$ y $y$ . Demostrar los siguientes resultados para todos $x,y,z\in V$ .

$$d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$$

Traté de probar esto de diferentes maneras, traté de probar $\|x-y\|^{2}\leq (||x-z|| + ||z-y||)^{2}$ y ampliado todo, mover esto y aquello, pero ninguna de mis tácticas funciona. Por favor, dame alguna idea o truco de cómo probar esto. Gracias.

Answer 1

Si se tienen los axiomas de una norma en la mano, entonces como dice el primer comentario, se sigue de $|a + b| \leq |a| + |b|$ . Aquí $a$ es el desplazamiento desde $x$ a $y$ y $b$ el desplazamiento desde $y$ a $z$ .

Si la norma se define a partir del producto interior y se quiere comprobar que $|a+b| \leq |a| + |b|$ el cuadrado de esa desigualdad es equivalente a la desigualdad de Cauchy-Schwarz $(a . b) \leq |a||b|$ .