¿"Sea A un conjunto cualquiera" es un cuantificador universal o existencial?

Question

Es una pregunta muy básica pero no encuentro nada relacionado en internet.

Sé que los cuantificadores universales son "Para todo x" mientras que los cuantificadores existenciales son "Para algunos"

Sin embargo, el enunciado para "Sea A un conjunto cualquiera" es confuso pero por lo que entiendo. Es un cuantificador universal. Sin embargo, si alguien puede aclararlo, ¡gracias!

Answer 1

Si $P(A)$ es alguna propiedad de un conjunto $A$ se puede escribir algo como $$\forall A: P(A).$$ Las pruebas de estas afirmaciones suelen ser las siguientes: Se elige un conjunto arbitrario $A$ (y escribir "Let $A$ sea un conjunto cualquiera"), y demostrar que $P(A)$ retenciones. Esto permite que la prueba sea más legible. De lo contrario, habría que llevar el cuantificador a lo largo de toda la demostración, lo que dificultaría su comprensión.

Answer 2

Lo explicaré con un ejemplo. Consideremos la afirmación $S:= $ "el conjunto vacío está contenido dentro de todo conjunto".

$S$ puede reformularse como:

1. Para cada conjunto $A$ , $\varnothing \subset A$ .
2. Para todos los conjuntos $A$ , $\varnothing \subset A$ .
3. Sea $A$ sea un conjunto cualquiera. Entonces, $\varnothing \subset A$ .
4. Elija un conjunto arbitrario $A$ . Entonces, $\varnothing \subset A$ .

Aquí apenas hay matemáticas, se trata esencialmente de jerga matemática. Sí, todas estas afirmaciones implican el cuantificador universal $\forall$ . Sólo están redactados de forma diferente en el lenguaje, pero todos tienen el mismo significado.