Cómo calcular $P(Z_2 \le Z_3 \le Z_4| Z_2=Z_1 )$ donde tenemos una secuencia i.i.d. de normales estándar $Z_1,Z_2,Z_3,Z_4$ .

Question

Supongamos que tenemos una secuencia i.i.d. de normales estándar $Z_1,Z_2,Z_3,Z_4$ . Cómo calcular \begin{align} P(Z_2 \le Z_3 \le Z_4| Z_2=Z_1 ) \end{align}

Mi idea

\begin{align} P(Z_2 \le Z_3 \le Z_4| Z_2=Z_1 ) =P( Z_1 \le Z_3 \le Z_4 ) =\frac{1}{3!} \end{align} El último paso seguir porque hay $3!$ formas de organizar $Z_1,Z_3,Z_4$ y la normal es simétrica. Sin embargo, no estoy seguro de si el segundo paso está bien y podemos dejar de lado el condicionamiento?

Answer 1

Respuesta parcial que es demasiado larga para un comentario:

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Consideremos la distribución conjunta de $(Z_1-Z_2, Z_2)$ . Se trata de una distribución normal bivariante con medias $0$ y $0$ desviaciones $2$ y $1$ y correlación $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Por lo tanto, tiene la misma distribución que $(2U, -\frac{1}{\sqrt{2}} U +\frac{1}{\sqrt{2}} V)$ donde $U$ y $V$ son i.i.d. normal estándar. (Puedes verificarlo comprobando que las medias, las varianzas y la correlación son iguales).

Por lo tanto, la distribución condicional de $Z_2$ dado $Z_1=Z_2$ es igual a la distribución condicional de $-\frac{1}{\sqrt{2}} U + \frac{1}{\sqrt{2}} V$ dado $2U=0$ . Conectando $U=0$ vemos inmediatamente que la distribución condicional es $N(0, 1/2)$ como Brian Tung mencionó en los comentarios.

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Por lo tanto, puede reescribir su probabilidad original como $$P(\frac{1}{\sqrt{2}}V \le Z_3 \le Z_4)$$ donde $V, Z_3, Z_4$ son i.i.d. normal estándar. Algún tipo de argumento de volumen/simetría podría permitir calcular esto, pero no estoy seguro.

Answer 2

He aquí un enfoque más directo. Deja que $E=\{Z_1=Z_2\}$ y $h(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ . Aviso $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)\sim f$ donde $$f(x,y,z,w)=h(x)h(y)h(z)h(w)$$ La distribución condicional de $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ dado $E$ denotado por $f_{E}$ , es igual a $$f_{E}(z_2,z_3,z_4)=\frac{f(z_2,z_2,z_3,z_4)\sqrt{2}}{\iiint_{\mathbb{R}^3}f(z_2,z_2,z_3,z_4)\sqrt{2}dz_4dz_3dz_2}$$ La probabilidad que intentas calcular es $$P(Z_2 \leq Z_3 \leq Z_4|Z_1=Z_2)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{z_2}^{\infty} \int_{z_3}^{\infty} f_{E}(z_2,z_3,z_4)dz_4dz_3dz_2$$ Esto supone aproximadamente un 15,2%.

Observación : La $\sqrt{2}$ representa el "componente de superficie" para la superficie paramétrica $\vec{r}(u,v,w)=(u,u,v,w)$ cuya traza es $$\Big\{(z_1,z_2,z_3,z_4)\in \mathbb{R}^4\Big|z_1=z_2\Big\}$$