Coincidencia de la derivada estándar y la derivada débil

Question

Sea $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ estar en $W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ y diferenciable (en el sentido clásico) en casi todas partes.

¿Es cierto que la derivada estándar y la derivada débil coniciden?

En $p>n$ esto es un corolario del teorema 4.9 ("LECTURES ON LIPSCHITZ ANALYSIS"- de Heinonen; De hecho, en ese caso $f \in W^{1,p}$ implica que $f$ es diferenciable en casi todas partes).

¿Qué ocurre con otros valores de $p$ ?

Answer 1

Esto se deduce de la caracterización ACL de los espacios de Sobolev, véase https://en.wikipedia.org/wiki/Sobolev_space#Absolutely_continuous_on_lines_.28ACL.29_characterization_of_Sobolev_functions .