probabilidad de tener 2 niños si al menos 1 es varón

Question

Estoy en 12º curso y no consigo entender una pregunta de probabilidad condicional. La pregunta dice

Hay una familia con 2 hijos, ya sean niños o niñas, en la que ambos tienen las mismas probabilidades. Dado que hay al menos 1 niño, hallar la probabilidad de tener 2 niños.

Si tomamos los 2 casos, en el primer caso si hay 1 niño ¿significa que hay 1 niño y 1 niña? ¿O significa que tenemos 1 niño y que el segundo puede o no ser un niño?

Answer 1

Comprendo su confusión. Anote siempre el espacio muestral total y el espacio muestral bajo condición. Se trata de una cuestión de probabilidad condicional. El espacio muestral total en este caso es $\lbrace B, B \rbrace$ , $\lbrace B, G \rbrace$ , $\lbrace G, B \rbrace$ , $\lbrace G, G \rbrace$ cada caso con la misma probabilidad $1/4$ . Cuando dice que hay "al menos un niño". Entonces su espacio muestral condicional se reduce a $\lbrace B, B \rbrace$ , $\lbrace B, G \rbrace$ , $\lbrace G, B \rbrace$ ,. Ahora está preguntando la probabilidad de tener 2 varones, por lo tanto su espacio muestral favorable es $\lbrace B, B \rbrace$ . Por lo tanto, la probabilidad es = número de espacios muestrales favorables/ número de espacios muestrales condicionales = 1/3.

Answer 2

La pregunta significa que hay al menos un niño, el segundo puede ser un niño o una niña. Hay que dar la probabilidad de que ambos niños sean varones. Sin la información de que al menos uno es varón tendríamos cuatro posibles sucesos BB, BG, GB, GG. La probabilidad de tener dos hijos varones (BB) sería 1/4, ya que cada uno de los sucesos tiene la misma probabilidad. Pero ahora sabemos que GG no es posible, así que sólo tenemos 3 posibilidades, por lo que la respuesta es 1/3.

Con más detalle: Dado que el nacimiento de niño o niña tiene la misma probabilidad Nacimientos en cada orden viene dado por P(BB)=0,5*0,5

P(BG)=0,5*0,5

P(GB)=0,5*0,5

P(GG)=0,5*0,5

Aplicando el teorema de Bayes P(BB|uno es chico)= $\frac{P(BB)}{P(BB)+P(GB)+P(BG)}=1/3$