Gracias a N.F.Taussig por sugerir que mi respuesta fuera autónoma. He editado mi respuesta. Gracias también a N.F. Taussig por indicarme un error analítico que cometí. He corregido la respuesta.
Se puede suponer que las cifras van de $0$ a través de $9999$ para facilitar los cálculos. Luego, al final, puedes ajustar por $0$ en estudio.
Además, dado que lo que se está enumerando son dos impar dígitos, es inofensivo adoptar la simplificación de que todos los números se rellenan con cero a la izquierda.
Con respecto a mis dos comentarios, a raíz de la pregunta, así es como yo emplearía Inclusión-Exclusión :
Mi enfoque consistirá en enumerar todas las posibles apariciones de al menos dos dígitos impar consecutivos. Luego, deduciré esto de $(9999)$ .
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El fundamento de la Inclusión-Exclusión, es que al contar - deducir - volver a sumar, cada ocurrencia pertinente (en este caso de tener al menos un par de enteros Impares consecutivos) acaba siendo contada una vez .
Entonces, en este problema en particular, cometí un error al no analizar detenidamente, cuántas veces varias intersecciones se cuentan en mis enumeraciones de $T_1, T_2, T_3$ como se explica a continuación. He añadido discusión.
A continuación, utilizaré
o-o-e-e
(por ejemplo) para indicar que (leyendo desde la izquierda), los dos primeros dígitos son Impares y los dos segundos dígitos son pares.
Del mismo modo, utilizaré
o-o-o-e
para indicar que los tres primeros dígitos son impar y el último dígito es evento.
Número de formas de los dos primeros dígitos impar (leyendo los dígitos de izquierda a derecha):
$5^2 \times 10^2.$
Multiplica lo anterior por $3$ ya que también estás enumerando dígitos $2,3$ impar y dígitos $3,4$ impar.
$T_1 = 3 \times 5^2 \times 10^2 = 7500.$
Para determinar cuántas colecciones de $4$ dígitos a deducir, re intersecciones, considere las siguientes intersecciones, que son inherentes a mi enumeración de $T_1$ :
o-o-e-e $~:~$ contados una vez.
e-o-o-e $~:~$ contados una vez.
e-e-o-o $~:~$ contados una vez.
o-o-o-e $~:~$ contados dos veces.
e-o-o-o $~:~$ contados dos veces.
o-o-o-o $~:~$ contado tres veces .
Este fue un descuido mío.
Deducir el número de maneras en que los dígitos $1,2,3$ son impar, o que los dígitos $2,3,4$ son impar:
$T_2 = 2 \times 5^3 \times 10 = 2500.$
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Re mi descuido, también debo considerar tener al menos dos pares de enteros impar, donde los pares están representados por $(1,2)$ y $(3,4)$ .
Por lo tanto, el corregido cálculo de $T_2$ es:
$T_2 = \left[2 \times 5^3 \times 10\right] + 5^4 = 3125.$
o-o-o-e $~:~$ deducido una vez.
e-o-o-o $~:~$ deducido una vez.
o-o-o-o $~:~$ deducido tres veces.
En este punto, todo está cuadrado, y todas las intersecciones pertinentes se han contado exactamente una vez, excepto que (ahora), o-o-o-o ha sido contado tres veces y descontado tres veces.
Suma el número de formas en que los 4 dígitos son impar.
$T_3 = 5^4 = 625.$
Cómputo final:
$$T_1 - T_2 + T_3 = 7500 - 3125 + 625 = 5000.$$
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Confieso: después de leer los comentarios de N.F. Taussig tras mi respuesta, comprobé mi cordura con un programa Java.
Puesto que usted está realmente interesado en el cálculo en el que no hay dos dígitos consecutivos impar, que en realidad quiere:
$$9999 - 5000 = 4999.$$
