Visualice $A_4$ y $\langle x, z\rangle$ isomorfo al grupo de Klein 4

Question

La página 136 dice Siguiendo el Paso 1 de la Definición 7.5, la parte superior de la Figura 7.23 muestra $A_4$ organizado por la subgrupo $\langle x, z\rangle$ (que es isomorfo al Klein $4$ grupo. Esta reorganización requirió el uso de flechas para los generadores $x$ y $z$ así como un generador que conecta cosets de $\langle x, z\rangle$ en este caso $a$ . El paso 2 de la definición 7.5 nos pide que colapsemos cada uno de los tres cosets izquierdos de $\langle x, z\rangle$ en un único nodo, uniendo las flechas que se vuelvan redundantes.

Esto es de Nathan Carter página 136 figura 7.23 Teoría Visual de Grupos.

Pregunta 1. No entiendo cómo estos diagramas de Cayley representan $A_4$ . ¿Qué significan el azul, el verde y el rojo?
Pregunta 2. Dónde está el subgrupo $H = \langle x, z\rangle$ que es isomorfo al Klein $4$ ¿Grupo? ¿De qué color(es)?

EDIT @Richard Peterson 2/2/2014 ----

Pregunta 3. ¿Cómo ve $A_4 = ($ cualquiera de los 3 ciclos bajo $ )V_4$ sin calcular realmente todas las permutaciones en naranja debajo?

Lo sé. $A_4$ es

Answer 1

Tome x y z para ser dos de las tres permutaciones no identidad en V4 de la red de subgrupos que ha proporcionado en la parte inferior de su mensaje. V4, (como ya sabes) es el grupo Klein 4. Es el cuadrado superior en cada uno de los diagramas de Nathan Carter, con e siendo la identidad e y igual a xz, y siendo cualquier permutación no-identidad en V4 que NO escogiste cuando escogiste x y z.

Tomemos "a" como CUALQUIER elemento triciclo del grupo A4. Como dijo user86418, los nodos son elementos de grupo y las flechas de colores representan (a la izquierda) la multiplicación por los elementos de grupo x (en verde), z (en rojo), y $"a"$ (en azul).

Así, por ejemplo, la flecha azul del nodo y que apunta al nodo d significa ay=d. Cada uno de los tres cuadrados del diagrama son cosets de V4. V4 se llama H. El cuadrado superior es V4=H=eH como se ha dicho antes, el cuadrado inferior derecho es aV4=aH, y el cuadrado inferior izquierdo es aaH.... Puede que haya explicado demasiado partes de esto, pero alguna otra persona aparte de ti puede que encuentre útil la explicación extra... (Nota: la razón por la que puse "a" entre comillas fue para intentar no ser confuso, espero no haber sido más confuso... lo hice para marcar...). $"a"$ como CUALQUIER elemento del grupo en $A_4$ cuando no era la palabra inglesa de una letra a excepto cuando multipliqué por el elemento de grupo "a", como aH).