Función generadora de probabilidad de una distribución multinomial negativa

Question

Deduzca la función generadora de probabilidad ( pfg ) de una distribución multinomial negativa con parámetros $(k; p_{0}, p_{1}, ..., p_{r})$ donde la k-ésima ocurrencia del suceso con la probabilidad $p_{0}$ detiene los juicios.

Mi enfoque : Encuentre el pgf del evento que es detenido por el primero ocurrencia del suceso asociado a $p_{0}$ entonces eleva esa expresión a la potencia k-ésima.

Este suceso elemental es una colección de sucesos multinomiales (excluido el suceso de parada) de longitud $0 \rightarrow \infty$ seguido de la parada:

$g_{elementary}(s_{1},...,s_{r}) = p_{0}(\sum_{j=0}^\infty (g_{multinomial}(s_{1},...,s_{r}))^j =\\ p_{0} / (1-g_{multinomial}(s_{1},...,s_{r}))$

donde $g_{multinomial}(s_{1},...,s_{r})$ es el pgf de la secuencia de sucesos multinomial de longitud $1$ con r posibles resultados, es decir $\sum_{i=1}^r p_{i}s_{i}$

Aumentar $g_{elementary}(s_{1},...,s_{r})$ a la potencia k-ésima resulta

$g(s_{1},...,s_{r}) = p_{0}^k (1-\sum_{i=1}^r p_{i}s_{i})^{-k}$

Aunque este resultado es correcto, no estoy seguro de mi razonamiento.

Answer 1

Como mencioné en mi post original, no me sentía cómodo con el razonamiento.

Podemos pensar en un multinomio negativo como una secuencia multinomial de longitud M $(M:0\rightarrow \infty)$ mezclado con $k-1$ incidencias de tipo $0$ que puede ocurrir en $\binom{M+k-1}{k-1}$ seguido de la última aparición del tipo $0$ que pone fin a las pruebas. Por tanto, la función de distribución de la multinomial negativa $(k, p_{0};p_{1},...,p_{r})$ : $$ \sum_{M=0}^{\infty} p_{0}^{k-1} \binom{M+k-1}{k-1} (\sum_{j_{1}+...+j_{r} = M}\frac{M!}{j_1!...j_r!}\prod_{q=1}^r p_{q}^{j_q}) p_0$$ $$\phi(s_1,...,s_r) = \sum_{j_1=0}^\infty...\sum_{j_r=0}^\infty{\{\sum_{M=0}^{\infty} p_{0}^{k} \binom{M+k-1}{k-1} (\sum_{j_{1}+...+j_{r} = M}\frac{M!}{j_1!...j_r!}\prod_{q=1}^r p_{q}^{j_q}s_q^{j_q})\}}$$ $$\phi(s_1,...,s_r) = \sum_{M=0}^\infty p_0^k \binom{M+k-1}{k-1}(s_1p_1+...+s_rp_r)^M$$ $$\phi(s_1,...,s_r) = \frac{p_0^k}{(1-\sum_{j=1}^r s_j p_j)^k}$$