Sea $A$ sea el conjunto de todos los estados posibles del mundo, sea $G(A)$ sea el conjunto de todas las "loterías" o "apuestas", es decir, el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre $A$ . Consideremos ahora un individuo con un orden de preferencia de las distintas loterías en $G(A)$ . Entonces el Teorema de von Neumann-Morgenstern afirma que, suponiendo que las preferencias del individuo obedezcan a ciertas condiciones de racionalidad, existe una función $u: A \rightarrow \mathbb{R}$ tal que la ordenación de las preferencias del individuo maximiza el valor esperado de $u$ . Además, la función $u$ es única hasta transformaciones lineales, es decir, maximiza el valor esperado de $u$ y maximizar el valor esperado de $a + bu$ dan resultados equivalentes.
Consideremos ahora una sociedad con N individuos, donde las preferencias de cada individuo obedecen a los axiomas de von Neumann Morgenstern. Entonces podemos definir una función de bienestar social $W = a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_Nu_N$ donde $u_i$ es la función de utilidad von Neumann-Morgenstern para el $i^{\textrm{th}}$ individual, y $a_i$ es el recíproco de la utilidad marginal del dinero para el $i^{\textrm{th}}$ individual. Como se muestra en este hilo , $W$ está bien definida, porque es invariante bajo transformaciones lineales de la $u_i$ 's. Más importante para nuestros propósitos, es mi entendimiento que maximizar $W$ alcanzará un Resultado óptimo de Kaldor-Hicks . (¿Puede alguien respaldarme en esto, y preferiblemente decirme dónde puedo encontrar una prueba?).
Mi pregunta es, ¿cómo Teorema de imposibilidad de Arrow a una ordenación de las preferencias sociales basada en la eficacia de Kaldor-Hicks? En concreto, dados dos resultados en $A$ ¿qué pasaría si dejáramos que el ordenamiento social prefiriera el resultado que tiene un mayor valor de W? El teorema de Arrow, como se suele decir, trata de reglas que son mapas de $L(A)^N$ a $L(A)$ es decir, reglas que toman el orden de preferencia de cada individuo en $A$ y, a continuación, escupir una ordenación de las preferencias sociales en $A$ . ( $L(A)$ es el conjunto de órdenes lineales sobre el conjunto $A$ .)
Pero la regla que estoy describiendo no se basa sólo en la preferencia de cada individuo ordenando en $A$ (sus preferencias por determinados resultados), sino en su función de utilidad de von Neumannn-Morgenstern $u$ es decir, en su orden de preferencia en $G(A)$ (sus preferencias en caso de incertidumbre). Entonces, ¿existen generalizaciones del teorema de Arrow que traten de mapas de $L(G(A))^N$ a $L(G(A))$ o, en su defecto, mapas de $L(G(A))^N$ a $L(A)$ como es el caso de la norma que estoy describiendo? Si se aplica una extensión del teorema de Arrow, ¿qué dice sobre esta regla? ¿Qué condiciones obedece o no obedece la regla?
Cualquier ayuda será muy apreciada.
Gracias por adelantado.
